«Профессор Харви Коэн, когда он просил меня прочитать лекцию, сказал, что я могу говорить о чём угодно. Если в последнее время нет новых математических результатов, можно поделиться мыслями с молодыми математиками. Ведь предыдущая метафора про птиц и лягушек, кажется, нашла отклик. Но, не будучи скромным, я сам — молодой математик, и мой опыт ограничен. Было бы лучше подождать до семидесяти лет, когда я буду уходить из математики, и тогда уже говорить о таких вещах. Так что, как говорится, «лучше сделать сейчас, чем ждать подходящего случая». Узнав, что Чэнь добился успехов в области гипотезы Гольдбаха, я сказал Харви Коэну, что тоже хотел бы поделиться своими мыслями по этому поводу. В конце концов, обе задачи относятся к области теории чисел — к разделу простых чисел, и у меня есть некоторый опыт. Даже если я выступлю экспромтом, у меня найдётся чем заинтересовать слушателей. Но новости быстро исказились: я сказал «поделиться мыслями», а в передаче от СМИ и коллег это превратилось в «доказательство». Раз уж так вышло, значит, буду доказывать. Я попытался сделать это за последние несколько дней. Сильная форма гипотезы Гольдбаха оказалась слишком сложной: в процессе размышлений я постоянно упирался в то, что она касается суммы двух простых чисел. Вклад второстепенной дуги оценивается как x/log x, а вклад главной дуги — на порядок выше, и погрешность трудно контролировать. Поэтому я решил ограничиться доказательством слабой формы».
В зале поднялся гул. Разве это человеческие слова? Ведь слабая форма гипотезы Гольдбаха уже более двухсот лет была одной из самых сложных задач теории чисел.
— Похоже на Рэндольфа, — заметил Зигель. — Он всегда так легко говорит о решении серьёзнейших проблем.
Сидящие в первом ряду: слева от Зигеля — декан математического факультета Колумбийского университета Фокс, справа — Гротендик. Дальше — Харви Коэн, Андре Вейль и другие. Жан-Пьер Серр не приехал из Парижа, но прислал своего ученика с наказом: непременно записать доказательство полностью и немедленно отправить факсом в Париж. Там он уже организовал семинар по теории чисел с профессорами и аспирантами, чтобы, получив доказательство, немедленно его изучить.
Гротендик, услышав Зигеля, слегка улыбнулся:
— Зигель, не кажется ли тебе, что когда Рэндольф говорит о птицах и лягушках, он сам занимается исключительно лягушачьей работой? Я хочу сказать, что он может быть и птицей, и лягушкой, и в обеих ипостасях он на высшем уровне. Но в последние годы он, похоже, ограничивается лягушкой: помимо программы Рэндольфа, он почти не делает «птичьей» работы. По сравнению с решением отдельных задач, я бы предпочёл увидеть, как Рэндольф объединяет различные ветви математики единым способом. В последнее время, работая над «Основами алгебраической геометрии», я всё больше убеждаюсь, насколько это увлекательно. Если я смогу при жизни удовлетворительно объединить алгебру и геометрию в соответствии со своим планом, я буду удовлетворён. Но Рэндольф — не такой, как мы. Он молод, и его мозг, кажется, работает лучше. Если бы он посвятил все свои силы математике, я уверен, он смог бы сделать то, что мне не под силу.
Голос Гротендика был тихим, быстрым, словно доносился из ниоткуда.
Для математика уровня Гротендика, конечно, гипотеза Гольдбаха — задача, достойная восхищения. Но он хотел бы видеть развитие всей математики. Ему казалось, что обобщающая теория, способная объединить разные области, — более достойная задача для математика такого уровня, как Линь Жань.
Зигель вступился за Линь Жаня:
— Александр, Рэндольф не такой, как мы с тобой. У него лишь урывками есть время на математику. Если бы он мог освободиться от работы в NASA и спокойно преподавать в Колумбийском университете, я уверен, он занялся бы «птичьей» работой.
Фокс поспешно вмешался:
— Профессор Зигель, может, вы сможете уговорить Рэндольфа полностью посвятить себя математике? Работу в NASA может делать кто угодно, а объединить разные области математики способен только Рэндольф.
Зигель мысленно вздохнул: «Если бы я мог его уговорить, я бы уговорил его вернуться в Гёттинген, а не в Колумбию. Немецкий городок куда лучше подходит для сосредоточенной работы, чем Нью-Йорк». Принстон, где находится Вейль, — тоже городок с населением всего 30 тысяч, даже меньше, чем Гёттинген. На мгновение все замолчали, понимая, что это противоречие между реальностью и идеалом, которое не разрешить ни компромиссом, ни анализом. У математического сообщества не было рычагов воздействия на Белый дом.
Тем временем на сцене Линь Жань уже вкратце объяснил разницу между сильной и слабой формами гипотезы Гольдбаха.
В 1742 году Гольдбах в письме Эйлеру высказал предположение:
«Любое целое число, большее 2, можно записать как сумму трёх простых чисел».
Это утверждение отличается от современной формулировки, поскольку Гольдбах считал 1 простым числом. В современной математике 1 не считается простым, поэтому современная формулировка исходной гипотезы Гольдбаха такова:
«Любое целое число, большее 5, можно записать как сумму трёх простых чисел».
Это и есть слабая форма гипотезы Гольдбаха. В ответном письме Эйлер предположил, что у этой гипотезы есть эквивалентная версия:
«Любое чётное число, большее 2, можно записать как сумму двух простых чисел».
Эйлер считал это утверждение теоремой, но сам не мог её доказать. Именно эта, более известная широкой публике, формулировка является сильной формой гипотезы Гольдбаха, которую правильнее было бы называть гипотезой Гольдбаха-Эйлера. На самом деле эти две гипотезы не эквивалентны. Возможно, они эквивалентны, но для доказательства их эквивалентности потребуется другая теорема.
— Не будем вдаваться в историю. Перейдём к конкретике. Начиная с работы Ивана Виноградова в 1937 году... Иван Виноградов — советский математик, не путать с Александром Виноградовым или Аскольдом Виноградовым, хотя они тоже известны. Эти имена действительно легко перепутать, хотя это не один человек. Иван Виноградов разработал метод оценки сумм простых чисел, который стал основой билинейного большого решета, используемого в гипотезе Гольдбаха. Математики постоянно совершенствовали этот метод. Очевидно, что работа Чэня довела этот метод до предела. Теперь, чтобы решить слабую форму этим методом, это практически невозможно. Поэтому нам нужно привлечь новые инструменты, особенно оптимизировать второстепенные дуги, модифицировать большое решето, избавиться от лишних множителей и сделать оценку более точной. Что ещё важнее, мы не можем ограничиваться только аналитической теорией чисел — нам нужно привлечь алгебраическую геометрию, построить геометрические структуры для представления сумм простых чисел и встроить задачу в алгебраические многообразия.
Математики, стоявшие в задних рядах, поднялись. Сочетание алгебраической геометрии и теории чисел было в то время одной из самых передовых областей — настолько передовой, что никто, кроме Линь Жаня, так не делал.
Как упоминалось ранее, слабая форма гипотезы Гольдбаха была доказана Хельфготтом, перуанским математиком, выпускником Принстона. Но почему его работа не получила широкой известности, хотя слабая форма гипотезы Гольдбаха — тоже серьёзное достижение? Во-первых, потому что статья ещё не была опубликована: он выпустил три версии, и хотя все считали, что доказательство, скорее всего, верно, никто из крупных математиков не подтвердил это окончательно; к тому же его доказательство опиралось на компьютерные вычисления. Во-вторых, Иван Виноградов в 1937 году доказал, что все достаточно большие нечётные числа являются суммой трёх простых чисел. Вклад Хельфготта заключался лишь в устранении разрыва между «достаточно большими» и «всеми» числами. Доказательство Виноградова ввело новую концепцию билинейных форм, чего не было у Хельфготта. Хельфготт внёс вклад в узкую область аналитической теории чисел, связанную с явными оценками, но не в более широкую область. Говоря кратко, работа Хельфготта была недостаточно оригинальной.
Линь Жань не просто копировал. Простое копирование бесполезно: если бы он использовал результаты Хельфготта напрямую, в эту эпоху компьютеры не смогли бы их проверить. В зале сидели ведущие математики современности, и они бы не приняли результаты Хельфготта. Линь Жань кардинально переработал работу Хельфготта, и даже в 2020 году, если бы он был из Принстона, это был бы результат уровня Филдсовской премии. Ему нужно было улучшить результат Хельфготта так, чтобы его можно было проверить без компьютеров. Его метод заключался в привлечении алгебраической геометрии для построения моста, создающего геометрическую модель простых чисел. Это был совершенно новый подход, который в то время перекликался с программой Рэндольфа.
В перерыве Линь Жань подошёл к первому ряду, и его тут же окружили математики.
Гротендик прямо сказал:
— Рэндольф, я знаю, что космонавтика — великое дело. Но по сравнению с математикой она кажется незначительной. Я не говорю, что она не важна, но она не настолько важна, чтобы такой мастер, как ты, занимался ею. Такую второстепенную работу должны делать математики-прикладники.
Линь Жань чувствовал себя неловко: он сам был специалистом по искусственному интеллекту, который в иерархии этих математических гигантов стоял на несколько ступеней ниже прикладных математиков. Но теперь он был и брахманом чистой математики, причём самым крутым среди них. Он мог бы вернуться в 2020 год, выложить эту улучшенную версию Хельфготта на arXiv и снова стать брахманом чистой математики.
Он улыбнулся и ответил:
— Математика — это праздник духовного мира, а космонавтика — это красочный фейерверк в мире материальном. Я хочу и того и другого. Профессор Александр, вы знаете, что одно и то же дело, сделанное гением и обычным человеком, даёт совершенно разные результаты.
Гротендик задумался. Затем вздохнул:
— Рэндольф, если бы ты занимался не космонавтикой, а чем-то другим, например, политическими интригами в Белом доме, я бы уговаривал тебя уйти. Но, честно говоря, сочетание теории чисел и алгебраической геометрии началось ещё с Гаусса, который связал целочисленные и рациональные решения однородных полиномиальных уравнений. Затем теорема Кронекера-Вебера и теория дивизоров пытались оперировать кольцами многочленов над целыми числами. Дедекинд и Вебер применили алгебраические методы к римановым поверхностям, установив аналогию между числовыми полями и полями функций и дав алгебраическое доказательство теоремы Римана-Роха. Позже я, Андре Вейль и Жан-Пьер Серр систематически соединили теорию чисел и алгебраическую геометрию, расширив это на изучение рациональных точек и полей. И ты снова расширил эти границы: сначала при доказательстве теоремы Ферма связал эллиптические кривые и модулярные формы с помощью теоремы о модулярности, затем программа Рэндольфа предположила связь между представлениями Галуа и автоморфными формами, а теперь ты применил геометрическое моделирование к теореме о простых числах. Мне кажется, нам не хватает последнего шага — последней искры вдохновения, чтобы полностью включить теорию чисел в рамки алгебраической геометрии. Рэндольф, если у тебя возникнет озарение во время запуска ракеты, ты всегда можешь написать мне письмо с идеей, а я проверю её.
Гротендик фактически предлагал стать ассистентом Линь Жаня.
Линь Жань кивнул:
— Хорошо, Александр, как только у меня будет идея, я сразу напишу тебе.
Зигель добавил:
— Рэндольф, всё, что я написал впереди, не вызывает сомнений. Я даже жалею, что стал стар: у меня много идей, но нет сил для глубоких размышлений. Эти искры вдохновения остаются только тихо угасать. Мои записи остались в Гёттингене, но если они тебе понадобятся, скажи Дойлингу; если и он уже на пенсии, свяжись с деканом математического факультета Гёттингена — кто бы им ни был, они отдадут тебе мои оригиналы. Я не отдаю их сейчас, потому что ты ещё в NASA. Когда ты уйдёшь из NASA, все мои рукописи станут твоими.
Зигель хотел сказать это в прошлый раз, но забыл.
Линь Жань подумал: «Нужно быть действительно выдающимся. Неважно, что он не учил тебя лично, неважно, что ты китаец, неважно, что ты даже не в Гёттингене. Если ты достаточно хорош, мэтры сами отдадут тебе свои рукописи, делая тебя своим преемником».

Комментарии

Загрузка...