Когда Линь Жань закончил, специалисты по теории чисел в зале поднялись и начали аплодировать. Остальные аспиранты и профессора из других областей, не до конца понимая происходящее, присоединились к ним из вежливости.
Репортёры в зале растерянно переглянулись. Дождавшись, пока аплодисменты стихнут, они обратились к ближайшему профессору, вставшему со своего места, и тихо спросили:
— Простите, а это действительно так важно?
— Невероятно важно! Профессор только что заложил ещё один краеугольный камень в аналитической теории чисел. Эти два результата, которые он представил сегодня, применимы не только к гипотезе о близнецах, но и к другим задачам теории чисел. Профессор не только нашёл модуль, но и расширил его диапазон, что напрямую усиливает возможности решета и анализа распределения. А методы, которые он использовал — билинейные формы и техника разнесения, — дают нам новые инструменты для аналитической теории чисел и методов решета. В общем, это уже выдающийся результат. Обычный математик мог бы получить за это Филдсовскую премию. Только ради этого одного результата стоило приехать в Гёттинген.
Энрико Бомбьери именно за этот результат получил Филдсовскую премию в 1974 году, а расширение диапазона модуля с 1/2 до 4/7 было серьёзным улучшением стандартной теоремы, достигнутым лишь в 1987 году. Это означало, что результаты Линь Жаня тянули как минимум на две Филдсовские премии. И это было только начало.
Математики в зале, особенно те, кто работал в теории чисел, были на грани экстаза.
— Итак, мы продвинули модуль до 4/7. Прошу прощения, время ограничено, поэтому я не буду останавливаться для обсуждения. Если у вас есть вопросы, записывайте их; я постараюсь ответить позже. Если не успею, я проведу отдельную сессию вопросов и ответов по возвращении в Нью-Йорк, в Колумбийском университете.
Из зала раздался голос Фокса:
— Отлично! Продолжайте, профессор!
Дойлинг мысленно закатил глаза: «Что ты орёшь? Это не твой дом! Американцы такие надоедливые!» Однако, учитывая беспрецедентность момента, он сдержался.
— Теперь мы будем продвигаться дальше.
Линь Жань записал на доске новую формулу:
∑_{ ≤ } _{(,)=1} |ψ(; , ) − /φ()| ≪ ^{1/2} ( )^
Эта формула спустя шестьдесят лет станет известна как гипотеза Эллиотта — Халберстама (EH-гипотеза). Она была сформулирована Эллиоттом и Халберстамом в 1968 году и опубликована в «Symposia Mathematica». К 2025 году гипотеза так и не была доказана. Если бы её доказали, это означало бы, что ошибка в распределении простых чисел в арифметических прогрессиях по модулю ≤ x контролируется эффективно, что намного превосходит стандартный уровень 1/2. Тогда для гипотезы о близнецах значение k=246 можно было бы сократить до k=6, то есть почти до требуемого k=2. Например, работа Натали Дебузи в 2019 году, использующая улучшенное асимптотическое решето в предположении EH-гипотезы, доказывала существование бесконечного числа «почти близнецов» — то есть пар, где p — простое, а p−2 — либо простое, либо полупростое.
EH-гипотеза была настолько важна, что математики уже начали строить свои работы в её предположении. Это означало, что Линь Жань больше не мог полагаться на мудрость потомков — он должен был доказать EH-гипотезу самостоятельно. Можно даже сказать, что EH-гипотеза была пределом, когда модуль стремится к 1. Чтобы сдвинуться ещё дальше, то есть к 1, потребовалась бы совершенно новая математическая структура.
Поэтому, войдя в этот этап, Линь Жань заметно сбавил темп. Самое сложное было в том, что он не мог просто взять готовые теоремы или леммы из будущего — все инструменты, которые появятся через шестьдесят лет, ему приходилось создавать здесь и сейчас, прямо в актовом зале Гёттингенского университета, с чистого листа.
«Билинейные формы и децентрализация... нет, это максимум 4/7».
«Оценки типа II, использующие распределение в коротких интервалах и оптимизацию гладких модулей... тоже не подходят, до этого уровня не дотянуть».
«Связь с нулями L-функций может быть путём. EH-гипотеза связана с ошибкой для среднего модуля q, и каждому q соответствует характер Дирихле χ (mod q), нули L-функции которого влияют на распределение. Доказательство теоремы Бомбьери — Виноградова опирается на оценки плотности нулей, контролируя их количество вблизи Re(s) ≈ 1. Для EH-гипотезы требуется более сильный контроль нулей, что связано с их распределением в критической полосе. Затем — косвенная поддержка через GRH...»
Линь Жань писал на доске, стирал, писал снова. Учёные в зале понимали: это очень важная задача. Одна только гипотеза представляла колоссальную ценность.
К одиннадцати часам вечера Линь Жань ускорил темп письма, не останавливаясь ни на мгновение. Студенты, помогавшие ему менять доски, успели смениться дважды. Он исписал тридцать досок без единой паузы. В зале осталось около двадцати профессоров, а на полу, завернувшись в спальные мешки, лежало ещё больше слушателей.
По мере того как скрип мела становился всё громче и быстрее, те, кто ещё бодрствовал, будили спящих. Все взгляды были прикованы к доскам.
— Это?
— Да, Рэндольф нашёл выход.
— Мы действительно становимся свидетелями истории. Гипотеза о близнецах — лишь конечная цель, а мы сейчас любуемся пейзажами по пути к ней.
— Я только что задремал. Какой путь выбрал Рэндольф?
— Думаю, он расширяет описание распределения разностей нулей дзета-функции на L-функции Дирихле, чтобы повлиять на среднее поведение арифметических прогрессий. Если распределение нулей соответствует модели случайных матриц, это может подтвердить контроль ошибок в его гипотезе.
— Это интересная идея, но насколько она осуществима, зависит от конкретной конструкции.
Закончив писать, Линь Жань посмотрел на свои результаты и почувствовал глубокое удовлетворение:
— На сегодня всё. Как видите, я уже едва стою на ногах. Полученные результаты углубляют наше понимание распределения простых чисел и создают предварительный инструментарий для доказательства гипотезы о близнецах. Их прорывной характер заключается в преодолении прежних ограничений на модули. В процессе доказательства этой гипотезы я проанализировал распределение нетривиальных нулей L-функций Дирихле. Предположив, что нули в критической полосе достаточно разрежены, я оценил среднее поведение ошибки. Затем я разработал новый тип решета, объединив билинейные оценки и технику разнесения, чтобы оптимизировать разложение по модулям и преодолеть узкие места традиционных методов. Наконец, с помощью новой леммы я контролирую суммы по многомерным показателям, гарантируя, что ошибка удовлетворяет требованиям гипотезы.
Линь Жань добавил несколько примечаний на доску.
— Всем спасибо, я иду спать. Продолжим через шесть часов.
Он не стал уходить далеко — лёг отдохнуть в маленькой комнате рядом с залом.
Профессора и аспиранты в зале хлынули к доскам, чтобы разобрать написанное. За весь день Линь Жань исписал тридцать досок. Теорема Бомбьери — Виноградова и её усиленная версия были понятны — Принстон уже вывел стандартную теорему, и её усиление воспринималось легко. Но EH-гипотеза — в 1965 году её ещё не существовало, так что Линь Жань сам сформулировал её и сам же доказал.
«Невероятно красиво, просто произведение искусства».
«Это супер-усиленный результат».
«Есть ли здесь возможность упрощения?»
«Оценки плотности нулей и гипотеза о корреляции могут помочь упростить доказательство, но над этим ещё нужно подумать».
«Идея контроля сумм по многомерным показателям, чтобы удовлетворить требованиям гипотезы, просто блестяща».
«Нужно срочно отправить сегодняшние результаты коллегам в университет».
Передавать математические статьи по телеграфу было нереально. Теоретически можно было свести текст к чистому ASCII или Бодо и передавать по частям, но на практике это было чрезвычайно сложно. Обычно использовали факс — сканировали и отправляли страницы. Но факсы были дороги, и даже в Гёттингене их было всего несколько штук. Однако сегодняшние результаты Линь Жаня были настолько поразительны — и сами результаты, и методы, — что учёные, занимающиеся теорией чисел, горели желанием немедленно поделиться ими с коллегами и позвать их в Гёттинген стать свидетелями чуда.
Какие каникулы? В такое время все каникулы отменяются. Приехать в Гёттинген и увидеть чудо своими глазами — вот что было важно.
Даже глубокой ночью учёные в зале, независимо от того, отдыхали они или нет, были полны энергии. Учитывая, что Линь Жань уже ушёл отдыхать, они перешёптывались, обсуждая результаты дня.
«В любом случае, одно только продвижение модуля до такого уровня — уже выдающееся достижение».
«Выдающееся? По меньшей мере, это одно из важнейших достижений в теории чисел в этом столетии», — поправил Дойлинг.
«Профессор Зигель, рано подводить окончательный итог — у нас впереди ещё пять дней. Судя по сегодняшним результатам, Рэндольф вполне может завершить гипотезу о близнецах. В каком-то смысле она сравнима с гипотезой Гольдбаха. Если ему удастся, это будет, без сомнения, самым важным достижением в теории чисел этого века — без всяких "одним из". Если только в оставшиеся тридцать пять лет кто-нибудь не докажет гипотезу Гольдбаха», — сказал Жан-Пьер Серр, один из величайших математиков Франции, получивший Филдсовскую премию в 27 лет и обладатель всех трёх главных математических наград.
Ранее он работал в коммутативной алгебре и алгебраической топологии, а в последние десять лет сотрудничал с Гротендиком в области алгебраической геометрии.
Он продолжил:
— Раньше я слишком упрощённо относился к теории чисел. Оказывается, в ней можно применять так много аналитических инструментов. Думаю, современные специалисты по теории чисел сильно уступают Рэндольфу в аналитической подготовке.
Зигель горько усмехнулся:
— Нельзя же требовать от молодых студентов уровня Рэндольфа — это было бы слишком жестоко.
Серр покачал головой:
— Я не говорю, что нужно требовать от молодых докторов такой же фундаментальной подготовки по анализу, как у Рэндольфа. Я говорю о том, что в подготовке молодых учёных нельзя ослаблять требования к аналитическим навыкам только потому, что они занимаются теорией чисел. Специалист по теории чисел должен владеть анализом на уровне специалиста по анализу, а специалист по анализу должен знать алгебру на уровне алгебраиста. После того как Рэндольф предложил свою программу, мы всё отчётливее видим, что разные разделы математики тесно связаны между собой. Мы должны поощрять молодых учёных не забрасывать ни одну из областей — нам нужны универсальные учёные.
Зигель заметил:
— Ты собираешься по возвращении в Высшую нормальную школу требовать от студентов такого же уровня? Это же шаг назад.
Зигель имел в виду, что раньше готовили универсальных математиков, но с развитием абстрактной математики и ограниченностью человеческих ресурсов перестали требовать от студентов совершенства во всём, потому что это было нереально.
— Да, стоит попробовать, — кивнул Серр, не отрывая взгляда от исписанных формулами досок. — По крайней мере, для самых талантливых.
Зигель, старше Серра, понял его мысль:
— Ты хочешь сказать, что математика меняется, и наше представление о подготовке кадров тоже должно меняться?
Серр кивнул:
— Именно. Рэндольф своими действиями и результатами показал связь между разными ветвями математики — и эта связь становится всё очевиднее. Мы с Гротендиком пришли к тому же выводу. Возможно, Рэндольф, а возможно, кто-то другой, но кто-то воплотит идеи программы Рэндольфа в реальность. Сейчас, когда современная математика вступает в новый этап, нам нужно пересмотреть стратегию подготовки молодых математиков. Кроме того, у меня есть и личный интерес — я тоже хочу найти для Франции такого таланта, как Рэндольф.
«Никто не хочет смотреть такую телепрограмму. Профессор почти не говорит, а когда говорит — это очень специальные математические термины. Не то что я, даже сидящие в зале доктора и профессора не всё понимают. Нашим зрителям нужно больше информации. Наша трансляция совершенно неверна», — сказал программный директор Герман Шмидт.
Поздним вечером не спали не только математики — сотрудники NDR тоже не могли уснуть.
Поначалу у трансляции было много зрителей, но постепенно их становилось всё меньше. Никто ничего не понимал.
В конференц-зале отделения NDR в Ганновере висел табачный дым, на деревянных столах лежали бумаги, пепельницы и чашки с кофе, на стенах — логотипы NDR и расписания передач.
Герман продолжил:
— Мы должны решить эту проблему. Прошёл всего один день лекций профессора, а жалобы от зрителей уже завалили столы. Кто-то называет это инопланетным языком, кто-то угрожает переключить канал. Мы не можем сидеть сложа руки. Что делать с шестью днями трансляции?
Герман был в отчаянии. Он думал, что это будет беспрецедентно популярная трансляция, и действительно, первые полчаса были горячими. А потом — только жалобы.
«Звонки не прекращаются с начала эфира. Зрители хотят слышать профессора, но не эти бесконечные формулы. Некоторые даже спрашивали, не ошиблись ли мы каналом. Нам нужно действовать, иначе зрители уйдут. Может, попросить профессора рассказать забавные истории из лунной миссии? Или о космосе? Я понимаю, что попытка доказать гипотезу о близнецах — это важно, за этим следят математики всего мира, но, возможно, мы переоценили готовность аудитории к восприятию?»
Директор Вебер приехал в офис полчаса назад. С сожалением он сказал:
«Кто попросит профессора изменить программу? Ты? У тебя есть на это право? Очевидно, профессор сейчас занят тем, чтобы сотворить чудо в Гёттингене. Тот, кто мог бы его переубедить, находится в Белом доме, и сначала нужно найти президента Линдона Джонсона, а он уже будет говорить с профессором. Никто из нас не может этого сделать. И это историческое событие. NDR обязана транслировать такое академическое событие. Мы не можем отказаться из-за жалоб. Мы можем записать пояснительные сегменты — до и после трансляции, объясняя базовые концепции. После лекции профессора мы свяжемся с Берлином и попросим прислать профессоров математики. Нам нужны люди, которые разбираются в этом лучше нас, но при этом умеют говорить проще, чем сам профессор. Запомни, Герман, NDR — не развлекательный канал. Мы — общественное вещание, и образование — наша главная миссия. Лекция Рэндольфа олицетворяет академические традиции Гёттингена и Германии. Мы не можем поддаваться на жалобы зрителей! Мы транслируем рождение легенды».
Герман спросил:
«У меня только один вопрос: что, если профессор потерпит неудачу?»
Мнение Вебера совпадало с мнением Линь Жаня:
«Неудача профессора тоже станет легендой».
На второй день темп не снизился — по сути, он просто изложил метод решета GPY и затем быстро перешёл к результатам Чжан Итана.
Вечером третьего дня на доске появилось число 70 000 000. Через пятнадцать минут пояснений профессора в зале, способные понять, начали тихо аплодировать — только движениями, без звука. Для самой гипотезы о близнецах это был уже эпический прорыв.
«Уважаемые коллеги, мы сделали решающий шаг к конечной цели гипотезы о близнецах. Мы успешно нашли число — чёткое, определённое число, — и это число таково, что существует бесконечно много пар простых чисел, разность которых не превосходит N. Это число — 70 миллионов».
Когда Линь Жань закончил, аплодисменты в зале, сначала тихие, нарастали. Хотя в зале было всего около ста человек, аплодисменты в эту глубокую ночь звучали особенно отчётливо.
Те немногие зрители, которые всё ещё смотрели трансляцию у телевизоров или случайно включили телевизор, услышав аплодисменты, поняли, что произошло нечто важное. Доктора математических наук, присутствовавшие в зале, услышали в этих аплодисментах голоса лучших умов человечества, приветствующих проблеск гения другого.
Когда аплодисменты стихли, Линь Жань продолжил:
«Это первый раз в истории человечества, когда установлен верхний предел для расстояния между простыми числами. Решето Сельберга дало нам сеть для ловли простых чисел. Теорема, доказанная нами в первый день, раскрыла тайну распределения простых чисел в арифметических прогрессиях. Объединив эти инструменты, за последние два дня я разработал новый тип решета, оптимизировав контроль ошибки и доказав существование конечного разрыва. Это доказательство — только начало! Оно прокладывает путь к окончательному решению гипотезы о близнецах. И в оставшиеся три дня нам предстоит свести N с нынешних 70 миллионов к числу 2 — к тому, что требует сама гипотеза о близнецах!»

Комментарии

Загрузка...