Гёттинген — университетский город, и перед Рождеством он обычно пустел. В 60-х годах здесь проживало около 120 тысяч человек, из которых 30 тысяч были студентами. По меньшей мере 70% из них — приезжие. В этом году всё было иначе: Гёттинген был необычно многолюден. Математики со всего мира прилетали во Франкфурт, а оттуда поездом добирались до Гёттингена. Если сам город стал оживлённее, то местные газеты и региональное телевидение Нижней Саксонии описывали происходящее как «настоящее кипение страстей».
В 1965 году телерадиовещание в Западной Германии осуществляли общественно-правовые каналы ARD и ZDF. ARD состоял из нескольких региональных вещательных компаний, каждая из которых охватывала одну или несколько федеральных земель, предоставляя как общенациональные, так и местные программы. Третий канал NDR, например, обслуживал Нижнюю Саксонию и другие регионы. Все новости, связанные с возвращением Линь Жаня в Гёттинген, освещались в мельчайших подробностях как местные события. Единственное, чего не хватало, — баннера «Профессор, добро пожаловать домой!».
«Фокс, хорошо, что вы связались с нами заранее. Сейчас в Гёттингене трудно найти свободные номера в отелях, особенно такие, как 223 и 227, — их просто расхватывают», — сказал Дойлинг, провожая делегацию Колумбийского университета в студенческое общежитие.
Фокс, приехавший заранее, даже не думал искать отель. Он сразу связался с Дойлингом и попросил разместить их в общежитии. Он понимал: настоящая работа, особенно прорывная, требует круглосуточного погружения. Это не обычная лекция на четыре часа — это будет марафон без остановки. Линь Жань будет работать непрерывно, и они, как его слушатели, тоже должны быть в строю от начала до конца. В таких условиях качество жилья не важно — главное, где перевести дух. Лучшим вариантом было студенческое общежитие Гёттингенского университета. Даже если придётся делить комнату на двоих, это не имело значения. Фокс и его профессора даже не планировали возвращаться в общежитие — у каждого был спальный мешок. Они собирались спать прямо в зале, на полу. Общежитие было лишь резервным вариантом.
Услышав слова Дойлинга, Фокс, обладая математической интуицией, сразу понял:
— Потому что Рэндольф собирается доказывать гипотезу о близнецах, поэтому номера с простыми числами на дверях стали популярны, да?
Он быстро заметил особенность чисел 223 и 227 — оба простые.
Дойлинг горько усмехнулся:
— Не только это.
И он пересказал историю о «постижении простых чисел в отеле “Кларидж”», которую ему передал Зигель. А затем эта история попала в местные газеты. Номеров с нужными цифрами было мало, и к тому же на это время, поэтому 257 и 523 были забронированы, а затем начали расхватывать остальные 13 трёхзначных чисел с повторяющимися цифрами, номера которых были простыми.
Фокс рассмеялся:
— Похоже, это станет традицией среди математиков. На следующем Международном конгрессе математиков, когда будут бронировать отели, все захотят номера 257 и 523, а потом 223 и 227.
Дойлинг горько улыбнулся:
— И это при том, что профессор ещё не доказал гипотезу.
Фокс улыбнулся:
— Первым делом по возвращении в Колумбию я сменю все номера на математическом факультете на простые числа, чтобы не было споров. Правда, тогда номера кабинетов станут всё длиннее.
Дойлинг заметил:
— Влияние профессора слишком велико. Местные газеты шутят, что сейчас в Гёттингене, если кинуть кирпич, попадёшь в математика.
Днём 4 января 1965 года на вокзале Гёттингена было многолюдно. Линь Жань прибыл из Лондона на поезде с двумя пересадками. Рядом с ним были Зигель, Дженни и высокопоставленные чиновники Западной Германии. Впереди и позади — охрана. Повсюду в здании вокзала виднелись полицейские. Никогда ещё безопасность на вокзале Гёттингена не была такой усиленной.
Встречать его пришли ректор Гёттингенского университета Отто Куммер, декан математического факультета Дойлинг и несколько старых профессоров. За вокзалом студенты-волонтёры держали приветственные плакаты. Журналисты со всей Западной Германии и даже Европы, с блокнотами наготове, фиксировали этот исторический момент.
«Профессор, я с нетерпением жду, когда стану свидетелем вашего чуда», — сказал Отто, пожимая руку Линь Жаню. — «Если вам действительно удастся это сделать, то поверить в то, что номера с простыми числами помогают думать, будет гораздо легче».
Дойлинг добавил:
— Профессор, сцена готова, осталось только ваше выступление. Весь Гёттинген затаил дыхание.
Лекция проходила в главном зале Гёттингенского университета — здании XVIII века, известном своим куполом и резными колоннами, вмещающем 500 человек. В истории университета этот зал часто использовался для важных академических мероприятий, например, для лекций нобелевских лауреатов.
5 января 1965 года зал был полон до отказа, слушатели стояли в проходах. Университет организовал трансляцию через громкоговорители в соседних аудиториях и установил временные места во дворе для студентов и учёных, не попавших внутрь. Кроме того, местные телеканалы установили камеры и планировали вести прямую трансляцию.
В центре сцены стояли плотно придвинутые друг к другу грифельные доски — только доски.
«Дамы и господа, давайте горячими аплодисментами поприветствуем Рэндольфа Линя, вернувшегося в Гёттинген», — сказал Отто. — «Гёттинген — это альма-матер профессора. Мы гордимся, что воспитали такого блестящего студента, как Рэндольф Линь. А теперь я передаю слово Рэндольфу».
Линь Жань тихо сказал Зигелю:
— Профессор, записи я доверяю вам.
Зигель кивнул:
— Без проблем.
Линь Жань вышел на сцену, и зал взорвался овациями. Когда шум стих, он начал:
— Дамы и господа, уважаемые коллеги, дорогие друзья, доброе утро! Мне невероятно почётно вернуться в Гёттинген — землю, взрастившую мои математические мечты. Стоя в этом зале, я словно снова оказался в студенческие годы, когда слушал лекции последователей Гильберта по теории чисел, просиживал ночи над доказательствами Евклида, пытаясь постичь тайну простых чисел. Конечно, тогда я и не думал, что смогу доказать теорему Ферма, предложить программу Рэндольфа, и уж тем более — стоять здесь, пытаясь бросить вызов гипотезе о близнецах. С тех пор как профессор Гильберт в 1900 году на Международном конгрессе математиков поставил её как 8-ю проблему, прошло ровно 65 лет.
Линь Жань повернулся к доске и написал: «3, 5», «5, 7», «11, 13». Затем обернулся и, обводя взглядом зал, заговорил серьёзно:
— Эти числа вы все знаете. Это простые числа-близнецы — пары простых чисел, отличающихся на 2. Они выглядят просто, но скрывают в себе древнюю загадку: существует ли бесконечно много таких пар? Этот вопрос восходит к Древней Греции. Евклид доказал бесконечность простых чисел, но о близнецах он оставил нам загадку. Перенесёмся в XIX век. В 1849 году Альфонс де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу: для любого чётного k существует бесконечно много пар простых чисел p и p′, таких что p′ − p = k. При k = 2 это и есть гипотеза о близнецах.
Линь Жань записал на доске: p′ − p = 2.
— Эта гипотеза кажется интуитивно понятной. Теория чисел часто такова: вопрос ясен каждому, но в строгом мире математики он превращается в неприступную вершину.
Линь Жань говорил быстро, на безупречном английском, который все учёные в зале могли легко понять. Немцы не столь требовательны к языку, как французы.
Он на мгновение задумался, замедлил шаг, заложил руки за спину и обвёл взглядом зал, словно оглядываясь назад, в историю.
— В начале XX века математики начали применять более мощные инструменты для изучения распределения простых чисел. В 1919 году норвежский математик Вигго Брун добился прорыва. Он изобрёл так называемое решето Бруна и доказал, что сумма обратных величин пар близнецов сходится.
Линь Жань записал на доске:
Σ (1/ + 1/′) < ∞.
— Что это означает? В отличие от суммы обратных всех простых чисел, которая расходится, близнецы настолько редки, что сумма их обратных величин конечна. Теорема Бруна говорит нам: близнецы не так часты, как обычные простые. Эта редкость и делает доказательство их бесконечности таким сложным. Но разве в этом не заключается прелесть математики? Когда мы сталкиваемся с почти невозможной задачей, наше творчество пробуждается по-настоящему.
Рэндольф подошёл к краю сцены, отпил немного воды и окинул взглядом зал. В углу репортёры перешёптывались, пытаясь уловить каждое его слово. Атмосфера в зале сменилась с напряжённой на нетерпеливую — слушатели погружались в мир простых чисел.
— Работа Бруна не доказала гипотезу, но указала нам путь. Харди и Литлвуд позже с помощью метода кругов предложили эвристическую оценку: количество пар близнецов вплоть до x приблизительно равно 2C ∫2x dt/(log t)2, где C — константа близнецов, примерно 1,32032.
Линь Жань записал формулу на доске.
— Но это лишь вероятностные предсказания, далёкие от доказательства. Сегодня я стою здесь не для того, чтобы повторять эти предсказания, а чтобы показать вам возможное решение — доказательство, сочетающее аналитическую теорию чисел и методы решета, чтобы приоткрыть завесу над гипотезой о близнецах. В ближайшие шесть дней мы отправимся в это путешествие. От распределения простых чисел до тонкостей решета и глубинных инструментов аналитической теории чисел — я надеюсь убедить вас, что эта гипотеза перестанет быть гипотезой и станет теоремой. Конечно, я знаю, что многие из вас, особенно профессора Гёттингена, подвергнут моё доказательство самой строгой проверке. Именно этого я и жду! Давайте начнём!
Зал разразился аплодисментами. Зигель тоже аплодировал, но его чувства были иными. Он был уверен: Линь Жань восполняет то, чего не успел сделать в Гёттингене на защите диссертации. Он выпрямился и подумал: «Рэндольф, позволь мне стать свидетелем твоей легенды. Докажи делом, что Гёттингенская школа не угасла, а благодаря тебе станет ещё более великой».
Линь Жань повернулся к доске и написал: «День 1».
Как только он написал это, у сидящих в зале учёных возникло ощущение стремительной гонки. Линь Жань работал слишком быстро.
Ему нужно было сначала извлечь результат Чжан Итана — о существовании бесконечного числа пар простых чисел с разностью менее 70 миллионов, а затем улучшить его до 246, как позже сделал Тао. Но он не мог просто взять результат Чжана. Работа Чжана опиралась на решето GPY и результат Бомбьери, Фридлендера и Иваньеца об уровне распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, равном 4/7. Решето GPY появилось в архиве только в 2005 году, а работа Бомбьери, Фридлендера и Иваньеца — в 1987-м. Чтобы воспроизвести это в 1965-м, Линь Жаню нужно было сначала написать все эти работы.
В первый день доски заполнялись формулами с невероятной скоростью. Линь Жань говорил мало, но писал много, беспрестанно переходя от одной доски к другой. Как только доска заполнялась, её отодвигали в сторону. Гёттингенский университет заранее подготовил передвижные доски. Они были только рады сохранить каждую из них. Если Линь Жаню действительно удастся доказательство, эти доски станут реликвиями математического факультета — с годами их ценность будет только расти.
— Итак, я изложил основную идею. Я начну с допустимых k-кортежей — таких наборов целых чисел, где для каждого простого p хотя бы один класс вычетов не покрыт, что гарантирует возможность того, что все они могут быть простыми. Моя цель — доказать, что существует такое k, при котором бесконечно много n, таких что в кортеже {n + h1, n + h2, ..., n + hk} есть по крайней мере два простых числа. Это будет означать, что разрыв между парами простых чисел ограничен.
Я использую вариант решета Сельберга, строя весовую функцию, которая определяет случаи, когда в кортеже есть по крайней мере два простых числа. Оптимизируя параметры, я оцениваю количество таких n. Ключевое условие — чтобы главный член превосходил погрешность.
Управление погрешностью требует знания распределения простых чисел в арифметических прогрессиях. Сначала мы допускаем средний модуль до x^{1/2}. Затем усиливаем результат для гладких модулей, расширяя уровень распределения. Это позволяет решету работать с большими значениями k. С помощью этих инструментов я доказываю, что для достаточно большого k существует конечное N, такое что бесконечно много пар простых чисел с разностью не более N. Затем мы берём какое-то N и постепенно уменьшаем его, пока оно не станет равным 2.
Выражения лиц учёных в зале стали серьёзными. Идея Линь Жаня не была странной — она была вполне ортодоксальной, не отличающейся принципиально от того, над чем размышляли математики раньше. В его методе были новшества, но лишь идея не могла решить гипотезу о близнецах.
— Теперь начинаем с первого шага — аналитической теории чисел. Сначала мы продвинем результат Бомбьери. Нам нужно доказать, что для конкретного Q, если пренебречь логарифмическими членами, средняя ошибка может быть сведена к x^{1/2}. Затем мы расширим этот результат с уровня 1/2 до 4/7, чтобы ошибка распределения простых чисел была контролируема и для больших модулей, что применимо к задачам решета в аналитической теории чисел.
Линь Жань начал писать. Работая, он молчал, и только изредка пояснял свои действия. Он говорил мало.
Чем дольше он писал, тем мрачнее становились лица профессоров из Принстона. То, что Линь Жань записывал с лёгкостью, было тем самым крупным результатом, который Институт перспективных исследований Принстона планировал опубликовать в этом году.
Уровень 1/2 — в математике это называется теоремой Бомбьери — Виноградова, также известной как теорема Бомбьери, один из главных результатов аналитической теории чисел, связанный с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем по модулям. Первый такой результат был получен в 1961 году Марком Барбаном, а теорема Бомбьери — Виноградова была его уточнением. Этот результат был опубликован в 1965 году именно Энрико Бомбьери и Аскольдом Виноградовым из Принстона, и поэтому он назывался теоремой Бомбьери — Виноградова. Им потребовалось более двадцати лет, чтобы продвинуть этот результат с 1/2 до 4/7 — это случилось в 1987 году. А Линь Жань сейчас прямо на глазах у всех доказывал этот результат, и не только его — он шёл гораздо дальше.
Чем больше он писал, тем мрачнее становились лица принстонских профессоров. Его доказательство для 1/2 было безупречным, а значит, его продвижение к 4/7 с высокой вероятностью тоже было верным. Это было похоже на то, как если бы ты с огромным трудом, с танцами и уворотами, победил монстра, а какой-то другой парень просто одним щелчком отправил его в нокаут — и сделал это быстрее и изящнее.
— Как видите, мы завершили доказательство. Мы только что показали, что распределение простых чисел в арифметических прогрессиях достигает уровня θ = 4/7. Точнее, это означает, что для модулей ≤ x^{4/7−ε} ошибка в распределении простых чисел в прогрессиях (mod q), где (a, q) = 1, может быть эффективно контролируема. Этот результат расширяет диапазон модулей, делая решето применимым в более широкой области.
Основная идея здесь заключается в использовании билинейных оценок и техники разнесения, что позволяет преодолеть ограничения традиционных методов и повысить аналитическую способность. Мы заложили основу для конечного разрыва в нашей общей стратегии доказательства гипотезы о близнецах.

Комментарии

Загрузка...