Любая математическая задача, связанная со знаменитыми вопросами Гильберта 1900 года, была среди самых горячих тем в математических исследованиях. Как уже упоминалось, в передовой математике найти проблему зачастую важнее, чем её решить. Найти подходящую задачу, постепенно «скармливать» её молодым учёным, позволяя им шаг за шагом продвигаться в математике, было ещё сложнее. А вопросы Гильберта были настоящим финальным боссом, и вокруг них можно было выстраивать целые цепочки связанных задач. Именно поэтому они были так популярны. В Гёттингене — особенно. Вопросы Гильберта были для Гёттингенской школы тем самым сокровищем из эпохи Великих географических открытий, которое они подарили мировой математике. Да, каждый мог прийти и копать, но Гёттингенская школа должна была откопать самый богатый клад. В отличие от других университетов, оригинальные рукописи и записи Гильберта хранились именно в Гёттингене. В 2000 году Рюдигер Тиле даже извлёк из них 24-ю проблему. В первой половине века Гёттингенский университет ещё мог находить сокровища, но во второй половине — уже нет.
Под руководством Зигеля Гёттингенская школа в основном сосредоточилась на гипотезе о простых числах-близнецах. Все шестеро профессоров в той или иной степени были знакомы с этой проблемой, а Зигель глубоко размышлял над ней. Результат? Очевидно, никаких идей не было. Услышать, что кто-то собирается решить её за шесть дней, было чистым безумием.
«Рэндольф, я знаю, что ты одарён, но не стоит ли оставить себе путь к отступлению?» — предупредил Зигель. — «Ты же понимаешь, что когда ты будешь делать доклад в Гёттингене, там будет полно журналистов. Даже если мы не пустим их в зал, твоя попытка доказать гипотезу о близнецах станет известна благодаря студентам и профессорам. Мы не можем заставить их рассказывать только об успехе и молчать о неудаче. Может, стоит ещё раз подумать? Когда ты действительно получишь результат, ты всегда сможешь приехать в Гёттинген и прочитать лекцию — это тоже будет поддержкой для университета».
Зигель, конечно, беспокоился о Линь Жане. Он действительно считал его своим учеником и преемником в науке. Он знал, что учёный, никогда не знавший неудач, взявшийся за такое и провалившись, столкнётся с насмешками и внутренним сомнением. Зигель не верил, что трудности способствуют росту. Великие математики и учёные сталкиваются с трудностями в жизни, но в науке они всегда устремлены вперёд. Эйлер, даже полностью ослепнув, не снизил темп работы — после 1766 года он продолжал публиковать множество оригинальных работ. Гаусс — тем более. Когда Гильберт был молод, Пауль Гордан сказал, что он занимается теологией, а не математикой, но в итоге его выводы оказались верны. По мнению Зигеля, математический гений, особенно в молодости, должен сохранять этот порыв, прорываться через препятствия и добиваться результатов, пока не упрётся в по-настоящему сложную задачу, над которой можно размышлять долгое время. Зигель не хотел, чтобы гений Гёттингена пал жертвой собственной самонадеянности.
Линь Жань улыбнулся:
— Профессор, у меня нет стопроцентной уверенности. Я полностью готов к неудаче. Я принял это решение не на пустом месте — и не только ради себя, но и ради возрождения математической славы Гёттингена. Если я преуспею, это станет яркой страницей в истории университета, о которой будут говорить в веках. Если я потерплю неудачу — это тоже станет легендой: первое поражение профессора произошло в Гёттингене.
У остальных пяти профессоров, кроме Зигеля, глаза увлажнились. Они услышали в его словах глубокую привязанность к Гёттингену. «Наш человек!»
Дойлинг сказал:
— Тогда я немедленно возвращаюсь в Гёттинген, чтобы всё подготовить. Рэндольф, от имени Гёттингена я благодарю тебя за это. Я готов стать свидетелем чуда.
Раз Линь Жань настаивал, Зигель не стал больше отговаривать. Он лишь вздохнул:
— Рэндольф, ты можешь начать думать над этим сейчас. Я ещё побуду в Лондоне. В молодости я тоже размышлял над гипотезой о близнецах. Хотя я её не решил, у меня есть кое-какие наработки, которые, возможно, наведут тебя на мысль.
Он повернулся к Дойлингу:
— Дойлинг, попроси своего студента в Гёттингене зайти в мой кабинет, найти на третьей полке толстую тетрадь с надписью «Гипотеза Гольдбаха» и переслать её мне в Лондон.
Затем он обратился к Линь Жаню:
— Рэндольф, гипотеза Гольдбаха и гипотеза о близнецах связаны с распределением и плотностью простых чисел. Гольдбах — о сумме простых, близнецы — о расстоянии между ними. Обе опираются на инструменты аналитической теории чисел. Я всегда думал, можно ли их изучать в единой рамке. Если гипотеза о близнецах верна, это может подтвердить гипотезу Гольдбаха, потому что она показывает, что простые числа на определённых расстояниях встречаются достаточно часто, чтобы построить нужные суммы. Так что, возможно, это даст тебе идеи.
Зигель испытывал странное чувство. Им предстояло провести вместе ещё пять дней в Лондоне. До лекции в Гёттингене оставалось пять дней. Между ним и Линь Жанем было странное соотношение: сначала появилась формальная связь «учитель-ученик», а теперь появлялись реальные факты. Сначала он стал доктором, а теперь, в Лондоне, накануне доказательства, Зигель сможет дать ему настоящие наставления. Это была временная аномалия: наставничество после получения степени, в Лондоне, а защита — в Гёттингене. Зигель вдруг понял, что их поездка в Гёттинген будет похожа на защиту диссертации. Он невольно улыбнулся странной игре судьбы и перестал возражать, решив помочь Рэндольфу всем, чем сможет.
«Рэндольф, у нас всего пять дней, так что я хочу изложить тебе все свои мысли по гипотезе о близнецах».
На следующий день они остались вдвоём.
«Гипотеза о близнецах утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся на 2, например, 3 и 5 или 11 и 13. Проверки показывают, что по мере роста чисел близнецы продолжают появляться. Кроме того, есть эвристический аргумент, основанный на вероятности того, что оба числа простые. Эвристика показывает, что количество пар близнецов до x примерно равно c умножить на интеграл от 2 до x dt/(log t)^2, где c — константа близнецов. Я обсуждал это с Харди в Кембридже. Они с Литлвудом, основываясь на своём методе кругов, были уверены в истинности гипотезы, но это не доказательство, это лишь вероятностная модель.
Позже я размышлял глубже. Теорема Бруна гласит, что сумма обратных величин близнецов сходится, что означает, что близнецы разрежены по сравнению со всеми простыми числами, но не говорит, конечны они или бесконечны. Решето может помочь: можно показать, что существует бесконечно много n, таких что n и n+2 имеют мало простых делителей, а затем, возможно, уточнить до того, что они простые. Это разумное направление — решето успешно в исследовании почти простых чисел. Например, решето Сельберга используется для оценки количества целых чисел с определёнными свойствами. Но прямое применение к близнецам сложно, потому что нужно, чтобы n и n+2 были одновременно простыми — это более жёсткое условие.
В последние годы я думал, не подойдут ли L-функции. Они мощны, особенно в задачах, связанных с арифметическими прогрессиями. Но для близнецов они не подходят напрямую. Можно попробовать построить ряд Дирихле, учитывающий распределение близнецов, или использовать метод кругов Харди и Литлвуда. О нём тебе не нужно объяснять — ты сам мастер теории чисел.
Для гипотезы Гольдбаха метод кругов при определённых предположениях даёт асимптотические формулы для числа представлений. Аналогично, для близнецов можно попытаться вычислить количество простых p, таких что p+2 тоже простое. Хотя погрешность в методе кругов обычно слишком велика, чтобы доказать гипотезу для всех x, это полезный инструмент для понимания поведения.
И даже если за шесть дней ты не докажешь гипотезу полностью, частичные результаты тоже будут ценны. Например, доказать, что существует бесконечно много простых p, таких что p+2 имеет не более k простых делителей — это уже большой шаг. Не обязательно решать всё сразу. Даже это будет великим достижением. Не дави на себя.
Когда мои рукописи прибудут, посмотри, и если будут вопросы — мы всегда на связи».
Линь Жань широко улыбнулся:
— Хорошо, профессор.
Специальная программа с участием Линь Жаня и Королёва стала самой горячей новостью в мире. Газеты всех стран разбирали их реплики и скрытые смыслы. Весь свободный мир единодушно поддерживал Линь Жаня, считая, что он разоблачил лицемерие Советов. Советский блок атаковал Америку, вспоминая залив Свиней, Карибский кризис, Берлинский кризис и убийство Кеннеди, пытаясь доказать, что «я не святой, но ты и того хуже». В этой информационной войне казалось, что в программе участвовали не Линь Жань и Королёв, а США и СССР. В то же время многие понимали: мир ещё далёк. Ни одна из сторон не сделала акцент на тех словах о мире и космическом сотрудничестве, что прозвучали в программе.
А новость о том, что Линь Жань собирается в Гёттингенский университет, чтобы прочитать лекцию, в ходе которой он намерен публично доказать гипотезу о простых числах-близнецах, стала самой горячей темой в самом Гёттингене. Дойлинг, вернувшись, обзванивал ведущих специалистов по теории чисел по всей Европе и даже из Америки, заявляя, что Линь Жань представит свои мысли по гипотезе о близнецах. Он не говорил о публичном доказательстве, но настаивал, что «вы пожалеете, если не приедете». Из-за новогодних каникул одни учёные не хотели ехать за тысячи миль, другие — соглашались. Услышать лекцию Линь Жаня, с оплаченными дорогой и проживанием, было выгодным вложением времени.
Гёттингенским же профессорам Дойлинг говорил прямо: Линь Жань будет доказывать гипотезу в прямом эфире, так что готовьтесь не отставать. Эта новость просочилась в местную прессу. Гёттинген — университетский город с высоким уровнем образования, и многие жители знали, что такое гипотеза о близнецах. Местные жители пришли в восторг. Студенты отказывались от каникул, чтобы прийти на лекцию, а многие горожане надеялись попасть в зал и стать свидетелями исторического события. В отличие от профессоров, большинство обывателей верили, что Линь Жань справится. «Он же отправил человека на Луну! Доказать какую-то гипотезу для него — раз плюнуть!»
Больше всех заволновался профессор Фокс из Колумбийского университета. На третий день, разобравшись через свои связи в Гёттингене, он позвонил Линь Жаню в отель:
— Рэндольф, нельзя отдавать эту возможность Гёттингену! Ты профессор Колумбийского университета! Публичное доказательство гипотезы о близнецах должно состояться в Колумбии!
В голосе Фокса слышались слёзы. Он был свидетелем того, как Линь Жань доказывал теорему Ферма. В отличие от Зигеля, Фокс был склонен верить, что гений способен на всё. В математике культ гения очень силён. Зигель сомневался — отчасти из-за заботы о Линь Жане, отчасти из-за того, что сам занимался этой проблемой. Фокс же ею не занимался.
— Профессор Фокс, я ведь ещё не уверен, что смогу доказать, — попытался объяснить Линь Жань.
Фокс настаивал:
— Нет, Рэндольф, я верю, что ты сможешь. Другие — нет, но ты — да. Лежандр 40 лет искал решение задачи об эллиптическом интеграле, а 20-летний Абель решил её одной статьёй «О свойствах очень широкого класса трансцендентных функций». В математике разрыв между гением и обычным человеком больше, чем в любой другой области. Немцы не верят, потому что они далеки от центра мира, но американцы знают. Я слишком много раз был свидетелем твоих чудес. Я верю, что ты сможешь. И, насколько мне известно, математики из Принстона, Нью-Йоркского университета, из нас — все собираются ехать, чтобы стать свидетелями чуда. У меня только одна просьба: пусть это чудо произойдёт в Колумбии!
Линь Жань вздохнул:
— Только один раз. Я ведь вырос в Гёттингене и ещё ничего не сделал для него.
Фокс вздохнул:
— Хорошо, я понял. Я сейчас же велю секретарю готовить билеты. Весь математический факультет Колумбии летит в Гёттинген на это историческое событие.
Линь Жань покачал головой. На самом деле он подготовился не так уж много. Он знал, что Чжан Итан продвинул эту задачу до того, что разница между простыми числами конечна. Это не решало проблему полностью, но подводило к ней ближе. Работа Чжана была улучшением результата Голдстона-Грэма-Пинца-Йилдирима. Позже, к 2014 году, другими математиками разрыв был уменьшен до 246 — доказано, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся не более чем на 246. Это всё ещё не полностью решало гипотезу о близнецах. Теперь же Линь Жаню предстояло, опираясь на работы будущего, полностью решить проблему. Был ли он уверен? Да, но не слишком. Он поставил себе этот срок, чтобы подстегнуть себя. Давление порождает энергию. «Посмотрим, на что я способен на самом деле», — подумал он.
— Дженни, пошли, я хочу выпить чаю в гостинице, — сказал Линь Жань.
Дженни, читавшая лондонскую газету у окна, встала, взяла с вешалки чёрную шляпу:
— Хорошо, профессор. У тебя нет идей? Или это громкое обещание оказалось для тебя слишком большим грузом?
Они вышли из номера, и в коридоре Линь Жань вдруг остановил Дженни и указал на дверь.
Дженни обернулась, ничего не понимая:
— На что ты смотришь?
Линь Жань сказал:
— Раньше я не был уверен, но теперь я полон веры. Посмотри на номер комнаты.
Дженни прочитала:
— 257. Ну и что?
Линь Жань пояснил:
— Этот номер идеален. 257 — само простое число, и каждая его цифра — 2, 5 и 7 — тоже простые числа. Сама судьба говорит мне, что я решу гипотезу о близнецах в Гёттингене.
Дженни вздохнула:
— Профессор, я и не знала, что вы такой суеверный.
Линь Жань объяснил:
— Это не суеверие. Иногда для решения проблемы нужна капля удачи. Удача создаёт мощный психологический настрой, а это и есть главная помощь.
В ресторане отеля Линь Жань не стал заказывать еду, а подозвал менеджера.
— Профессор, чем я могу вам помочь? — учтиво спросил тот во фраке.
Линь Жань спросил:
— Есть ли в отеле номер 523?
Менеджер подумал и ответил:
— Да.
Линь Жань кивнул:
— Будьте добры, переселите меня завтра в номер 523.
Он не стал спрашивать, свободен ли номер — отель позаботится об этом сам. Затем он объяснил Дженни:
— Прости, что заставляю тебя завтра переезжать. Трёхзначное число, само простое, и каждая его цифра тоже простая. Однозначные простые числа — 2, 3, 5, 7. Всего существует 15 таких трёхзначных чисел, но без повторяющихся цифр — только два: 257 и 523. Раз уж в «Кларидже» есть номера с такими числами, я хочу провести последние два дня в Лондоне именно в них. В будущем, в истории математики, это назовут «Постижением простых чисел в отеле “Кларидж”». Я уверен, что все математики, которые будут заниматься простыми числами, приезжая в Лондон, будут останавливаться в этих номерах, потому что я наделю их легендарным смыслом.
Глаза Линь Жаня сияли. Он выглядел совершенно иначе, чем в предыдущие дни, когда размышлял над гипотезой. Дженни чувствовала в нём уверенность, которой не было раньше. Она редко видела его таким — почти по-детски воодушевлённым. Она с улыбкой сжала его руку:
— Профессор, когда ты добьёшься успеха, я напишу об этой легенде в «Нью-Йорк Таймс».
Линь Жань улыбнулся в ответ, глядя в окно на зимний Лондон. Мысль о том, что он сможет решить одну из величайших проблем математики, наполняла его спокойной уверенностью. Ему не нужно было магическое число — ему нужно было лишь напоминание о том, что математика, как и космос, полна чудес, которые ждут своего открывателя. И завтра, в номере 523, он начнёт последний этап подготовки к своему выступлению в Гёттингене.

Комментарии

Загрузка...