— На этом мои полномочия всё... — сказала она.
Девушка опустилась на стул.
Ли Дун задумчиво хмыкнул, стоя на сцене.
— Эта студентка уже подошла вплотную к порогу следующего этапа, — сказал он, кивнув в её сторону.
— Всё верно.
— Ваш подход правилен по своей сути.
— Вот только ведёт он вовсе не к решению этой конкретной задачи.
— Он открывает совсем другую вершину — ту самую, над которой всю свою жизнь размышляли умы масштаба Якоби, Клейна и Гильберта.
— Но давайте сначала покорим эту гору, а уже потом замахнемся на следующую.
Стоило ему произнести это.
как несколько аспирантов, сидевших в зале.
резко выпрямились в креслах.
До них дошло.
То самое, что Ли Дун назвал «следующей горой».
Речь шла о модулярных формах.
Когда все трое завершили свои ответы.
аудитория, вопреки ожиданиям, погрузилась в гробовую тишину.
По логике вещей, эти три ответа уже охватывали три наиболее распространенных подхода к решению поставленной задачи.
Первый из аналитической теории чисел, второй из геометрии, третий из теории модулярных форм.
«Разве можно подойти к этому как-то иначе?»
Ли Дун обвел взглядом затихший зал со сцены.
Его губ коснулась едва заметная улыбка.
— Все три ответа верны.
— Но ни один из них нельзя назвать полным.
— Ответ первого студента говорит нам о том, при каких *n* решение существует, а при каких — нет.
— Ответ второго показывает, что общее число решений приблизительно равно пи, умноженному на эн.
— А ответ третьего указывает на то, что в конечном счете всё это можно свести к производящей функции.
— Однако все трое упустили из виду одну вещь.
Он выдержал короткую паузу.
— Сколько именно наборов решений существует для каждого конкретного *n*?
— Точное количество комбинаций.
— Что же в конечном итоге определяет число решений?
— И вовсе не простое «да/нет», полученное через разложение на простые множители.
— И не грубая «оценка», выведенная через расчет площади.
— И уж тем более не туманное описание объекта «тета в квадрате».
— Речь идет о замкнутой формуле, которая дает полностью точный результат для каждого отдельного *n*.
К этому моменту все в зале затаили дыхание, ловя каждое его слово.
Лишь теперь до них дошло истинное положение дел.
Три пути, которые они только что предложили, даже не касались этой сути.
Возникло неловкое ощущение: «Я ответил правильно, но, кажется, совсем на другой вопрос».
Ли Дун обернулся и вывел на классной доске строчку.
[эр-два от эн равно четырём, умноженным на (дэ-один от эн минус дэ-три от эн)]
Затем он продолжил писать строчкой ниже.
[d1(n) = #{d: d делит n, d ≡ 1 (по модулю 4)}]
[d3(n) = #{d: d делит n, d ≡ 3 (по модулю 4)}]
Он отложил мел и повернулся к залу.
— Это точная формула, выведенная Якоби в 1828 году.
— Для любого заданного *n*, чтобы найти количество решений, нужно посчитать, сколько у него делителей, дающих при делении на 4 остаток 1, а сколько — остаток 3. Найти разницу, а затем умножить на 4.
— И дело в шляпе.
По рядам пронесся единый вздох изумления.
Несколько аспирантов невольно зашушукались.
— Как... Как он вообще до этого додумался?
— Какая между всем этим вообще связь?
Ли Дун усмехнулся.
Он поднял руку и вывел на доске новую группу символов.
[Z[i] = {a + bi: a, b ∈ Z}]
— Целые числа Гаусса.
— *a* плюс *b*, умноженное на *i*.
— Где *a* и *b* — целые числа.
— В этой новой системе счисления мы делаем одну вещь.
— Берем целое число *n* и раскладываем его на простые множители уже в кольце Z[i]
Он набросал на доске разветвленную схему.
— Среди обычных целых чисел 5 — простое число.
— Но в Z[i] оно раскладывается: 5 = (2 + i)(2 − i).
— Оно расщепляется.
— А что насчет 3? В Z[i] оно остается простым. Оно не расщепляется.
— А 7? Тоже не расщепляется.
— Почему одни простые числа расщепляются, а другие нет?
Он бросил взгляд на Чжан Хэна.
В глазах Чжан Хэна уже горел огонь, и он громко ответил.
— Те, что дают при делении на 4 остаток 1, расщепляются.
— А те, что дают остаток 3, — нет.
Ли Дун кивнул.
— Так о чем на самом деле спрашивает r2(n)?
— О том, сколькими способами можно представить *n* в виде произведения двух целых чисел Гаусса.
— Это ничто иное как «функция деления» в кольце целых чисел Гаусса.
— Стоит изменить числовую систему, как задача тут же превращается из «подсчета решений» в «подсчет делителей».
— Стоит сменить угол зрения, и задача из «комбинаторной головоломки с алгебраическими преобразованиями» трансформируется в привычную для теории чисел проблему подсчета множителей.
Он сделал паузу, а затем указал на Цю Цзяюаня.
— Вы. В своей недавней оценке площади вы утверждали, что средний порядок r2(n) равен π.
— Вы знаете, почему именно π?
Цю Цзяюань с некоторым колебанием сказал.
— Формула площади круга.
— Верно.
Ли Дун покачал головой.
— И в то же время нет.
— Формула площади круга — лишь поверхностное проявление.
— Если взять эту функцию подсчета решений r2(n) и составить из нее ряд Дирихле...
Ли Дун вывел на доске еще одну строчку.
[Σ r2(n)/n^s = 4 ζ(s) L(s,χ)]
— С точки зрения математического анализа, он распадается на произведение двух элементов.
— Один из них — дзета-функция Римана.
— Другой — L-функция Дирихле для нетривиального характера по модулю 4.
— Первый множитель этого произведения имеет полюс в точке s=1 с вычетом, равным 1.
— Значение второго множителя при s=1 составляет π/4.
— Перемножьте их, и в результате получите то самое π.
— Вот истинная причина, почему средний порядок равен π.
— Эта π не просто свалилась из формулы площади круга.
— Она появилась из L-функции.
Слушатели в аудитории окончательно онемели.
У Цю Цзяюаня перехватило дыхание.
Его прежний ответ про «площадь круга»
оказался лишь случайным следствием этой L-функции в точке s=1.
Ли Дун повернулся к доске.
— Сделаем еще один шаг назад.
— Чем была та самая L(s,χ) секунду назад?
— Она переводит простую четность по модулю 4 в аналитический объект.
— У этого класса объектов есть свое название.
— Это... самый первый, простейший пример автоморфной L-функции минимальной размерности.
— Автоморфная L-функция на GL(1).
До этого момента он ни разу не сказал имя «Ленглендс».
Но когда присутствовавшие аспиранты услышали это, лица их мгновенно побледнели.

Комментарии

Загрузка...