Жизнь в лаборатории для Чэнь Чжо текла гармонично.
Он запирался внутри, наслаждаясь теплым воздухом.
Он перелистывал книгу в красной обложке, которую подарил ему старый Чжо.
Порой он помогал старому Чжо, занимаясь с Ли Хао и Чжан Вэем и объясняя им задачи.
Некоторое время назад старый Чжо назначил Чэнь Чжо капитаном команды, пусть в ней состояло всего три человека.
Ли Хао и Чжан Вэй, разумеется, были только за.
Стоило Чэнь Чжо разобрать с ними парочку сложных задач, как они начали называть его капитаном со всей искренностью и без тени обиды.
Задачи, казавшиеся им невыносимо трудными — практически нерешаемыми, — Чэнь Чжо щелкал в мгновение ока.
Самое главное, что методы, которые он показывал, оказывались им вполне понятны.
Просто волшебство каке-то.
Что до группы старого Чжао, там насчитывалось пять человек — трое парней и две девчонки. Вместе с Чэнь Чжо получалось шестеро.
Во время вечерней самоподготовки в день, когда они наконец собрались полным составом, старый Чжао пришел и налепил на доску задачу.
Предсказуемо, что Чэнь Чжо без труда занял место капитана математиков.
Только вот он никак не мог взять в толк...
...почему его запасы перекусов становились все больше и больше.
[Среда, вечер, 19:30.]
В специализированном классе команды по математическим олимпиадам на верхнем этаже административного корпуса Первой городской средней школы.
Здесь было очень сухо. Воздух наполнял отчетливый, успокаивающий кисловатый запах старой бумаги.
Плотные темно-красные бархатные шторы были плотно задернуты, наглухо отрезая ночную темноту и звон школьного колокола, возвещавшего о начале вечерней самоподготовки.
Внутри стоял лишь длинный массивный стол из красного дерева, освещенный единственной мощной лампой накаливания.
Пять человек собрались вокруг стола под этим светом.
Трое парней и две девушки.
Эти пятеро составляли звездный костяк команды Первой городской средней школы по математическим олимпиадам среди учеников средней ступени.
Там был Ван Ян, ученик третьего года обучения и лучший знаток математики в своей параллели. Он носил очки с линзами толще дна от бутылки и исступленно грыз кончик ручки.
За ним следовал Чжао Чэнь, еще один третьекурсник и законченный математический маньяк. Сейчас он трепал себя за волосы, превращая и без того растрепанную шевелюру в птичье гнездо.
А еще там были пухлый второкурсник Лю Кай и две девчонки — Нань Сяоюнь и Линь Сяо.
Все они хранили молчание.
Помимо шуршания кончиков ручек по бумаге да редких вздохов, в комнате почти не раздавалось иных звуков.
Он сидел в самом дальнем конце длинного стола.
Он с головой ушел в изучение журнала «Элементарная математика» сорванной обложкой, который вытащил с полки.
Те пятеро застряли на одной задаче.
Классическая задача по комбинаторной геометрии.
Условие было записано на листочке для черновиков:
[Можно ли выложить доску размером 6×6 прямоугольниками 1×4 (домино) без наложений? Если нет, объясните почему.]
Задача казалась простой.
Настолько простой, что ее понял бы даже младшеклассник.
Но вот решить ее оказалось сущим наказанием.
— Вроде бы это возможно, да? —
сказал Ван Ян, вычерчивая квадраты на бумаге.
— Смотрите, площадь равна 6×6=36, а площадь фигурки из четырех клеток равна 4. Тридцать шесть кратно четырем, так что площади идеально совпадают!
— Из того, что площади совпадают, еще не следует, что ее можно замостить! — возразил Чжао Чэнь. — Я уже столько времени бьюсь, и вечно в каком-нибудь углу остается лишний кусок.
— А что если разделить квадрат 6×6 на прямоугольники поменьше? — тоже включилась в обсуждение Нань Сяоюнь. — Ну, разрезать на блоки 2×4? Ой, не выйдет, шестерка на четыре не делится...
— Грубой силой тут точно ничего не добиться. Должна быть какая-то закономерность, — проговорил Лю Кай, покусывая ручку. — Может, применить доказательство от противного?
Спор становился все громче.
Стоял жуткий шум.
Их хаотичные попытки методом проб и ошибок напоминали барахтанье в темноте.
Чэнь Чжо закрыл журнал по математике и тихо вздохнул.
Он прижал книгу к груди, соскользнул со стула и неторопливо направился к другому концу длинного стола.
Он остановился прямо между Ван Яном и Чжао Чэнем.
— Застряли? —
голос Чэнь Чжо звучал бесстрастно, словно он интересовался, пообедали ли они.
Споры мгновенно стихли.
Все пятеро уставились на своего девятилетнего тимлида.
— Ага, намертво застряли. —
Ван Ян подвинул к нему исписанный черновик и смущенно почесал в затылке.
— Вроде бы замостить доску возможно, но нарисовать никак не получается. Площадь-то тютелька в тютельку сходится.
Чэнь Чжо бросил беглый взгляд на задачу.
— Равенство площадей — условие необходимое, но недостаточное. —
Он протянул руку и вытащил из стакана красную ручку.
Вырисовывать сложные прямоугольники домино он не стал.
Он взял сетку 6×6.
— Не вырисовывай. —
спокойно сказал Чэнь Чжо.
— Раскрась. —
— Раскрасить? — опешила Нань Сяоюнь. — В черный и белый цвета, как шахматную доску?
— Черно-белая раскраска тут не поможет. —
Чэнь Чжо покачал головой.
— Она годится для задач с доминошками 1×2. А здесь размер 1×4. —
Ручка в его руке уже проставляла цифры в клетках.
— Здесь требуется задействовать четыре цвета. —
Он заполнял их не абы как, а по строгому правилу:
каждая клетка получала номер, равный остатку от деления суммы номера строки и столбца на четыре.
Для удобства эти остатки обозначались цифрами от нуля до трех.
Он быстро принялся заполнять таблицу. Для первого ряда (при i=1):
при j=1 сумма i+j равна 2, остаток 2;
при j=2 сумма i+j равна 3, остаток 3;
при j=3 сумма i+j равна 4, остаток 0;
при j=4 сумма i+j равна 5, остаток 1;
при j=5 сумма i+j равна 6, остаток 2;
при j=6 сумма i+j равна 7, остаток 3.
Так, числа в первом ряду получаются следующие: 2, 3, 0, 1, 2, 3.
Он выписал все шесть рядов один за другим, сформировав числовую матрицу.
— Смотрите, —
сказал Чэнь Чжо, указывая на матрицу.
— Как бы вы ни расположили костяшку домино 1×4 — горизонтально, покрывая четыре соседние клетки в одном ряду, или вертикально, покрывая четыре соседние клетки в одном столбце, — согласно этому правилу нумерации, накрытые ей четыре числа всегда будут ровно по одному разу включать 0, 1, 2 и 3, без каких-либо повторений.
— То есть, каждая отдельно взятая доминошка задействует ровно один ноль, одну единицу, одну двойку и одну тройку.
— Если бы доску можно было идеально замостить доминошками, то общее количество нулей, единиц, двоек и троек на доске должно быть строго равным.
Чэнь Чжо перестал писать, поднял голову и посмотрел на старшеклассников поверх очков.
— А теперь посчитайте, сколько каждого числа на этой доске.
Ван Ян тут же принялся за подсчеты.
Посчитав количество нулей, он нахмурился и приступил к единицам.
— Не сходится... Здесь девять нулей, но всего восемь единиц, девять двоек и... десять троек! Их количество неодинаково!
— Значит, —
голос Чэнь Чжо оставался ровным.
— Предположение о возможности замощения требует равного количества всех четырех цифр. Но фактическое их число различно, что ведет к противоречию. Значит, замостить доску 6×6 прямоугольниками 1×4 без наложений невозможно.
В классе воцарилась мгновенная тишина.
Железная логика.
Для замощения требовалось израсходовать равное количество всех четырех чисел.
Но их количество совсем не совпадало.
— Значит, это невозможно. —
Чэнь Чжо отложил ручку.
Чжао Чэнь уставился на листок с открытым ртом.
— И-и все? Доказательство готово? —
— Угу. —
Чэнь Чжо отряхнул руки и повернулся, чтобы уйти.
— Метод раскраски — основное понятие в комбинаторике. В следующий раз, когда столкнетесь с подобной задачей на замощение, не спешите чертить схемы. Сначала подумайте, как применить раскраску, чтобы прийти к противоречию. —
Он вернулся на свое место и раскрыл книгу.
— Так, хорош витать в облаках. Следующая задача. —
Позади него пятеро старшеклассников молча переглядывались.
Ван Ян особенно остро ощутил, как его умственные способности впечатали в землю и растоптали после взгляда на эту простую числовую матрицу.
Дело было даже не в том, что задача оказалась такой уж сложной.
Просто само решение выглядело донельзя изящным, хитроумным и донельзя...
— Офигенным. —
Ван Ян долго сдерживался, но выдавил из себя лишь это слово.
Никаких громоздких вычислений, никакого нудного перебора вариантов.
Просто написал пару чисел, сосчитал их — и дело в шляпе.
— И как же... —
пробормотал себе под нос Ван Ян,
—...устроен его мозг? —

Комментарии

Загрузка...