В кабинете царила тишина.
Слышалось лишь мерное тиканье настенных часов.
Чэнь Чжо посмотрел на задачу.
Он взял перьевую ручку.
Знакомое холодное металлическое ощущение передалось от нервных окончаниях на кончиках пальцев прямо в центр мозга.
Он не стал писать сразу.
Он мысленно деконструировал задачу.
Простое число, p.
Степень p-2.
Делимость.
Эти ключевые слова в совокупности мгновенно пробудили из глубин его разума теорему.
Малая теорема Ферма.
a^(p-1) ≡ 1 (по модулю p) (если a не кратно p).
Она служила одним из краеугольных камней теории чисел.
Чэнь Чжо поправил очки.
Эта задача.
Для школьника она определенно выходила за рамки программы, гранича с откровенным издевательством.
Даже для старшеклассников на олимпиаде она не показалась бы простой.
Все потому, что от решающего требовалось не просто знать Малую теорему Ферма, но и понимать, как гибко применять модульные обратные элементы.
Но в глазах Чэнь Чжо она была интереснейшую головоломку.
Чему равняется 2^(p-2)?
Согласно Малой теореме Ферма, 2^(p-1) ≡ 1 (мод p).
Значит, 2^(p-2) ≡ 2^(-1) (мод p).
То есть, обратный элемент к двум по модулю p.
Аналогично, 3^(p-2) есть обратный элемент к тройке.
А 6^(p-2) — обратный элемент к шестерке.
Тогда проблемой становится доказательство того, что:
2^(-1) + 3^(-1) + 6^(-1) — 1 ≡ 0 (мод p).
Это было слишком просто.
Чэнь Чжо едва не рассмеялся.
1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1.
— 1 = 0.
Доказательство завершено.
В этом заключалась вся красота математики.
То, что казалось сложнейшей операцией с показателями степени, сквозь призму теории чисел сводилось к простейшим арифметическим дробам из начальной школы.
Величайшие истины всегда просты.
Чэнь Чжо снял колпачок с ручки.
Черновик ему не понадобился.
Он начал писать прямо на свободном месте бланка теста.
Никаких чертежей, никакого учета сопротивления воздуха.
Хватило всего нескольких аккуратных, четких строк уравнений сравнения.
∵ p — простое число, p > 3
∴ НОД(2, p) = 1, НОД(3, p) = 1, НОД(6, p) = 1
По Малой Теореме Ферма:
2^(p-1) ≡ 1 (мод p) ⇒ 2^(p-2) * 2 ≡ 1 (мод p)
...
Чэнь Чжо писал быстро.
Перо перьевой ручки издавало мягкий царапающий звук по бумаге.
Меньше чем через две минуты Чэнь Чжо перестал писать.
Последняя строка гласила:
∴ Исходное выражение ≡ 1 — 1 ≡ 0 (мод p)
Что и требовалось доказать.
Чэнь Чжо надел колпачок на ручку и подвинул бланк теста к старику Чжао.
— Готово.
Старик Чжао не проронил ни слова, все это время не сводя глаз с руки Чэнь Чжо.
Стоило Чэнь Чжо вывести первый знак сравнения «≡», как у старика Чжао расширились зрачки.
Он сразу понял: победа в кармане.
Парень не просто знал, как решить задачу, но и использовал самый стандартный, самый изящный язык теории чисел.
Он не стал применять громоздкий метод биномиального разложения, а сразу добрался до самой сути.
Обратный элемент по модулю.
Старик Чжао взял бумагу.
Он всмотрелся в несколько строчек красивых уравнений.
Логическая позначитсть, красота чисел... все было просто безупречно.
— Великолепно!
Старик Чжао грохнул ладонью по столу, заставив крышку на чайной чашке подпрыгнуть.
— Блестящее применение Малой теоремы Ферма!
— Блестящее использование обратного элемента по модулю!
Старик Чжао посмотрел на Чэнь Чжо, и фанатичный блеск в его глазах едва не поглотил мальчика.
— Я так и знал.
— Я знал, что твоя голова создана для математики.
— Этот проклятый учитель физики, старик Чжо, что он вообще понимает в подобной красоте?
Старик Чжао встал, снял с пояса увесистую связку ключей и долго перебирал их под звонкий металлический перезвон.
Наконец он нашел слегка поржавевший ключ медного цвета.
Он положил его перед Чэнь Чжо.
— Бери.
Чэнь Чжо посмотрел на ключ. «Как же эти учителя любят раздавать ключи».
— Что это?
— Ключ от архивной комнаты на верхнем этаже.
В голосе старика Чжао сквозило великодушие.
— Внутри ты найдешь все варианты Национальной математической олимпиады для старших классов с 1985 года по сегодняшний день, а также множество материалов национальной сборной.
— За эти конспекты занятий сборной мне пришлось переступить через гордость и вымаливать их у старого университетского товарища, который возглавляет Провинциальное математическое общество. Я коробками тащил их сюда.
— Часть тех материалов уже много лет как не издается.
— По школьным правилам это зона с ограниченным доступом. Туда пускают только руководителя учебно-методической группы.
Старик Чжао понизил голос, словно доверяя государственную тайну.
— Можешь ходить туда когда угодно и смотреть все, что захочешь.
— Пока ты не подожжешь это место, можешь творить там что душе угодно.
Старый Чжао сделал паузу, затем продолжил.
— И еще.
— Я уже записал тебя на национальную математическую олимпиаду среди учеников средних классов, которая пройдет в следующем году.
— Начиная с сегодняшнего дня, ты состоишь в основном составе школьной математической сборной.
— Отныне понедельник и среда отданы под математические тренировки. Во вторник и четверг во второй половине дня можешь идти дурить со стариком Чжо.
— Что же касается остальных уроков...
Старик Чжао небрежно отмахнулся.
— Пока твои оценки за промежуточные и итоговые экзамены будут вполне сносными, я не только разрешу тебе пропускать занятия, но если у кого-то возникнут претензии, пусть идут прямо ко мне!
Двойные привилегии.
Двухъядерный двигатель.
Чэнь Чжо протянул руку и взял медный ключ.
Он приятно холодил пальцы и оказался довольно тяжелым.
— Спасибо, учитель Чжао.
Чэнь Чжо встал и поклонился старику Чжао.
Это был искренний, идущий от самого сердца жест.
В нынешние времена повстречать двух учителей, готовых ради него нарушить правила и даже устроить из-за него свару, было настоящей удачей.
Чэнь Чжо вышел из кабинета.
Ключ от физической лаборатории лежал в левом кармане, а ключ от математического архива — в правом.
Он зашагал бодрой, пружинистой походкой.
Стоило ему завернуть за угол здания, как он столкнулся нос к носу с кое с кем.
Со стариком Чжо.
Старик Чжо держал подмышкой учебник, направляясь на урок во второй класс.
Он увидел, как Чэнь Чжо выходит из учительской, а затем заметил в дверях старика Чжао, который выглядел довольным и оттого светился триумфом, провожая мальчика взглядом.
Что за человек был старик Чжо?
Остер на язык и умом удался.
Его прищуренные глаза мгновенно метнулись из стороны в сторону, и он сразу догадался, что к чему.
Старик Чжо остановился прямо посреди дороги, преграждая Чэнь Чжо путь.
— Тебя вызывал старик Чжао?
Голос старика Чжо звучал кисло, будто он только что влил в себя кружку выдержанного уксуса.
Чэнь Чжо остановился и кивнул.
— Угу.
— И какой же бред тебе влил в уши этот старый лис?
Старик Чжо покосился на оттопыренный правый карман Чэнь Чжо.
— Он сказал, что физика — это плоть, а математика — кости, — честно ответил Чэнь Чжо.
— Без костей плоть превратится в бесформенную жижу.
— Ха!
Старик Чжо от злости даже усмехнулся.
— Старый хрыч, язык у него все так же подвешен.
Старик Чжо перехватил учебник из одной руки в другую, скривившись в презрительной гримасе.
— Кости?
— И что ты такое без мяса, одни лишь кости?
— Скелет! Музейный экспонат! Мертвечина!
— Вот физика — это жизнь! Это плоть и кровь, то, что способно бегать и прыгать!
Старик Чжо ткнул пальцем в грудь Чэнь Чжо.
— Парень, не позволяй ему сбивать тебя с пути.
— Математика — всего лишь инструмент. Молоток, гаечный ключ. Мы, физики, те самые мастера, что используют инструменты для создания механизмов. Ты хоть раз видел, чтобы ремесленник кланялся своему молотку?
Чэнь Чжо посмотрел на лицо старика Чжо, в котором смешались досада и яростное стремление защитить свое, и едва не рассмеялся.
Но сдержался.
Будучи вполне зрелым человеком, он обладал большим опытом в решении подобных вопросов.
— Учитель,
Чэнь Чжо поправил очки, произнеся это с искренней интонацией.
— По-моему, в словах учителя Чжао есть смысл.
— О?
Брови старика Чжо взлетели вверх.
— Без хорошего молотка точный механизм не построишь.
Чэнь Чжо похлопал себя по правому карману, где лежал ключ от математического архива.
— Сначала я хочу отточить молоток, а уже потом буду собирать ваши механизмы.
Старик Чжо на секунду опешил.
Он несколько мгновений молча сверлил Чэнь Чжо взглядом.
А затем улыбнулся.
Улыбка разгладила морщины на его лице.
— Ну ты и проныра, сопляк.
Старик Чжо шутливо выругался и взъерошил волосы Чэнь Чжо.
— Решил усидеть на двух стульях? Загрести все и сразу?
— Ладно. Амбиций тебе не занимать.
— Раз не боишься надорваться, бегай туда и сюда.
Старик Чжо махнул рукой и отступил в сторону, освобождая проход.
— Проваливай, проваливай. Из-за тебя я на урок опоздаю.
Чэнь Чжо кивнул и легко зашагал дальше.
Старик Чжо проводил его взглядом, после чего бросил взгляд на старика Чжао, стоявшего у дверей учительской неподалеку и победно ухмылявшегося.
Два старика, на двоих имевшие под сотню лет за плечами, прожигали друг друга взглядами с расстояния в десяток метров прямо посреди коридора.
— Старый хрыч.
— Старый пень.
Они выругались практически одновременно.
После чего каждый отвернулся, довольный собой донельзя.
Снаружи, в коридоре, ярко светило солнце.
Цикады всё так же стрекотали.

Комментарии

Загрузка...