Кто посмеет сказать, что эта преемственность — подделка?
Линь Жань в своих публичных выступлениях неизменно упоминал годы, проведённые в Гёттингене, называя себя выходцем оттуда, а Зигель открыто признавал Линь Жаня своим учеником, которого он «лично» воспитал.
Даже когда берлинские газеты, особенно восточноберлинская «Die Wahrheit», язвительно высмеивали недальновидность Гёттингена, а местные гёттингенские газеты высказывали сомнения, Зигель не колебался.
«Корни в Гёттингене — значит, рано или поздно я вернусь в Гёттинген», — такова была его простая вера.
Он и Линь Жань не отрицали этого: кто посмеет сказать, что Рэндольф не из Гёттингена? Раз это правда, то передача эстафеты гёттингенского математического мастерства от первой половины века ко второй — тоже неоспоримый «факт»!
Линь Жань улыбнулся:
— Благодарю за наставничество, профессор. Без Гёттингена не было бы и сегодняшнего Рэндольфа.
Вот что значит взаимопонимание. Молчаливое согласие.
Конгресс проходил в Большом зале Королевского технологического института, где развевались флаги Швеции и Международного математического союза. Присутствовали математики не только из свободного мира, но и из советского блока.
Андрей Колмогоров, которого Линь Жань встречал в Женеве, также присутствовал и должен был прочитать часовой доклад. Линь Жань тоже должен был выступать, и притом первым.
После вступительной речи Леннарта Карлссона Линь Жань должен был открыть конгресс своим докладом.
«Уважаемые математики, учёные, дамы и господа!
Добро пожаловать в прекрасный Стокгольм на Международный конгресс математиков 1962 года. Я Леннарт Карлссон, президент Международного математического союза. Для меня большая честь открыть это событие...»
После речи Карлссона тёмный бархатный занавес сменился несколькими большими досками.
— Здравствуйте! Впервые я выступаю перед таким количеством математиков. Здесь есть аналитики, геометры, теоретики чисел, а есть и те, кто занимается чёрт знает чем.
Современная математика разрослась до такой степени, что даже в рамках одной узкой специализации двум разным задачам нужно много времени, чтобы понять друг друга. Как дерево, которое растёт вверх, становясь всё более ветвистым, и ветвей становится всё больше.
Я говорил, что математики делятся на птиц и лягушек, но каждый из нас ищет свой плод. Сегодня я хочу поговорить о чём-то интересном. Я знаю, многие ждут, что я расскажу о программе Рэндольфа, о связи автоморфных форм и представлений Галуа, о том, как полностью установить соответствие Рэндольфа в высших размерностях и общем случае. Хотя вы не знаете, доказал ли я это, вы всё равно надеетесь услышать мои идеи. Но будет ли это понятно тем, кто не знаком с программой Рэндольфа? Не каждый математик знаком с гармоническим анализом и автоморфными формами, и не каждого интересует моя область.
Сегодня, имея честь выступать перед всеми участниками, я думаю, мне стоит вернуться к сути математики и рассказать о чём-то фундаментальном и увлекательном. Поэтому, оставив сложные теории, давайте вернёмся к самым истокам, к самой простой радости.
Линь Жань подошёл к доске, и его слова, несомненно, заинтриговали собравшихся. Действительно, как он и сказал, не каждый мог понять его материалы, и не всех интересовала программа Рэндольфа.
В зале поднялся шум — всем было любопытно, о чём будет говорить Линь Жань, а также они обсуждали, что такое «самая простая радость».
Дойринг, сидевший рядом с Зигелем, спросил:
— Профессор, о чём будет говорить Рэндольф?
Зигель покачал головой:
— Не знаю, но ты можешь вспомнить, что приносило тебе радость в математике в самом начале.
Дойринг задумался:
— Радость от решения задач?
Пока математики в зале обсуждали, голос Линь Жаня прозвучал снова:
— Сначала мы изучали математику, решая реальные задачи. Например, сколько будет яблоко плюс яблоко, сколько пальцев на руках, если прибавить или убавить несколько. Сначала математика служила ориентиром для реального мира, но постепенно становилась всё более абстрактной, и мы больше не можем найти ей соответствия в реальности. Она стала чистой логической игрой. Имеет ли она реальный смысл или нет — я должен найти ответ. Это прекрасно. Математика — это предел человеческого интеллекта. Вы все — исследователи этого предела.
Но сегодня я хочу поговорить о проблеме, связанной с реальным миром, и ввести несколько новых понятий. Моя сегодняшняя тема — проблема четырёх красок.
Он нарисовал неправильный круг и разделил его на четыре части, закрасив их разными цветами.
— Проблема четырёх красок заключается в том, можно ли любую плоскую карту раскрасить не более чем четырьмя цветами так, чтобы соседние области были разных цветов? — сказал Линь Жань.
— Теоретическая основа проблемы четырёх красок лежит в теории графов и комбинаторике, что относится к элементарной математике, и я уверен, что каждый здесь это поймёт. Итак, начнём.
Мы представляем каждую область карты как вершину графа. Если две области имеют общую границу, мы соединяем их ребром. Тогда задача раскраски карты эквивалентна раскраске вершин графа так, чтобы соседние вершины были разных цветов, и использовалось не более четырёх цветов. То есть нужно доказать, что любой планарный граф содержит определённые подструктуры, которых невозможно избежать.
Для каждого неизбежного набора конфигураций нужно показать, что если большой граф содержит такую конфигурацию, её можно упростить, удалив или объединив вершины и рёбра, и это не повлияет на справедливость теоремы о четырёх красках. Так задача упрощается.
— Конечно, проблема четырёх красок не ограничивается этим. Нам нужно ввести метод разрядки. Я разработал этот метод, основываясь на методе цепей Кемпе и анализе степеней вершин и граней в доказательстве теоремы о пяти красках Хивуда.
Он кратко объяснил метод цепей и доказательство теоремы о пяти красках, затем продолжил:
— Основная идея метода разрядки состоит из трёх шагов:
Первый — начальное распределение заряда: каждой вершине или грани графа присваивается начальный заряд. Величина заряда обычно связана со степенью вершины или степенью грани.
(Степень вершины — число рёбер, инцидентных вершине; степень грани — число рёбер на её границе.)
Например, частое распределение: каждой вершине v присваивается заряд 6 − deg(v), где deg(v) — степень вершины.
Второй — правила разрядки: разрабатывается набор правил, позволяющих заряду перемещаться между вершинами или гранями. Вершина с низкой степенью может «заимствовать» заряд у соседней вершины с высокой степенью; грань с высокой степенью передаёт заряд соседней грани с низкой степенью.
Третий — анализ после разрядки: после применения правил проверяется конечный заряд каждой вершины или грани. Анализируя распределение заряда, можно доказать, что определённые конфигурации (например, определённые подграфы или циклы) обязательно существуют, или что определённые свойства обязательно выполняются.
В итоге Линь Жань резюмировал:
— Нам остаётся только применить метод разрядки к проблеме четырёх красок. Сначала из формулы Эйлера для планарных графов V − E + F = 2, где V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней, можно вывести, что средняя степень грани меньше 6. Поэтому мы можем каждой грани f присвоить начальный заряд deg(f) − 6, где deg(f) — степень грани. Затем правила разрядки позволяют заряду перемещаться между гранями или между вершинами и гранями. В процессе разрядки можно доказать, что определённые конфигурации приводят к появлению отрицательного заряда. Эти конфигурации образуют неизбежный набор, то есть любой планарный граф содержит хотя бы одну из них. Тогда для доказательства теоремы о четырёх красках нам нужно только с помощью метода разрядки найти набор, содержащий конечное число конфигураций, и затем проверить их сводимость — в итоге мы докажем теорему.
Закончив, Линь Жань понял, что слушатели поняли, но, как и он, считали эту работу слишком трудоёмкой. Это как если бы вы знали метод, но могли потратить на него всю жизнь.
— Я знаю, что вы считаете мой метод неосуществимым из-за огромного объёма вычислений — человеческой жизни может не хватить, чтобы получить результат. Но я хочу напомнить, что теперь у нас есть такой инструмент, как компьютеры. Я верю, что с их помощью мы сможем решить эту проблему за короткое время — может быть, год или два.
В оригинальной истории проблема четырёх красок была полностью доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном с помощью компьютера. Именно методом разрядки. Но по сравнению с Линь Жанем их имена были гораздо менее известны. Поэтому никто не усомнился в его словах. Те, кто знал о компьютерах, размышляли, как их использовать; те, кто не знал, спрашивали, что такое компьютер.
Кстати, Аппель и Хакен использовали компьютер IBM 370-168, выпущенный в 1972 году, и потратили 1200 часов. Но это не значит, что IBM 7090 того времени не справилась бы. Память 128 КБ не позволяла хранить все конфигурации и промежуточные результаты, но можно было обрабатывать данные частями, используя магнитную ленту для хранения. Данные и результаты проверки занимали много места, но можно было использовать ленту для промежуточных результатов, обеспечивая целостность данных.
— Надеюсь, через четыре года на следующем конгрессе мы услышим, что проблема четырёх красок решена, — заключил Линь Жань.
Для математиков, знакомых с компьютерами, это было как музыка. Чем больше они знали о компьютерах, тем больше им хотелось броситься в лабораторию и начать доказательство. Им даже не нужно было придумывать метод — Линь Жань всё подробно описал. Некоторые даже готовы были пропустить следующие конгрессы. Кто первым добьётся результата, тот и решит столетнюю проблему четырёх красок. Это был подарок от Линь Жаня.
Для тех, кто не был знаком с проблемой, его слова вовсе не казались «элементарными».
Дойринг, поняв, что сказал Линь Жань, онемел. Прежде чем Линь Жань сел на место, он повернулся к Зигелю:
— Профессор, вы не предупредили Рэндольфа, что на конгрессе не обязательно излагать все свои идеи? Даже если делиться, нужно говорить, что мысль не до конца продумана, есть некоторые интересные идеи, которые можно обсудить с коллегами, а не предлагать готовое решение и отдавать задачу другим! Это же проблема четырёх красок!
Проблема четырёх красок — одна из тех задач, которые легко понять даже неспециалисту. Таких проблем с большой известностью и весом — единицы. Их решение — большая редкость. И вот зрелая идея решения — и он отдаёт её всем, не оставляя себе, даже не передавая своим ученикам или сотрудникам. Вот это и есть истинный масштаб — так думали молодые математики в зале.
А такие заведующие кафедрами, как Дойринг, мысленно истекали кровью — такая идея была просто отдана. В применении компьютеров Гёттинген явно уступал американским университетам, где были совместные лаборатории с IBM. Как им конкурировать?
Зигель сказал:
— Рэндольф думает о всём математическом сообществе, а не только о Гёттингене. Расширяй свой кругозор. Если Рэндольф поможет математикам доказать проблему четырёх красок с помощью компьютера, в этом тоже будет заслуга Гёттингена!
Да, Зигель уже научился ловко парировать жалобы Дойринга. Обвинения в мой адрес бесполезны. Пока Рэндольф остаётся моим учеником, его успехи — это и заслуга Гёттингена. Пока Дойринг не сможет разорвать эту логическую цепочку, Зигель будет в выигрыше.
«Стокгольм, август 1962 года. На XIV Международном конгрессе математиков (ICM) в Стокгольме самый ожидаемый математик, гениальный учёный китайского происхождения Рэндольф Лин, не разочаровал участников. Будучи приглашённым с пленарным докладом, он представил своё решение знаменитой проблемы четырёх красок. Этот прорыв не только открыл новую страницу в теории графов, но и заслужил широкое признание присутствующих.
Проблема четырёх красок, возникшая в 1852 году, утверждает, что любую плоскую карту можно раскрасить не более чем четырьмя цветами так, чтобы соседние области были разных цветов. Эта гипотеза мучила математиков более века, и, несмотря на многочисленные попытки, строгого доказательства не было. Новый метод, предложенный Рэндольфом на конгрессе, подробно описывает его инновационный математический подход, сочетающий глубокое понимание теории графов и компьютеров. Его доказательство поразило участников своей элегантностью и новизной.
Председатель конгресса, известный математик Леннарт Карлссон, отметил: «Работа Рэндольфа демонстрирует идеальное сочетание творчества и строгости, а также необходимость интеграции математики с новыми инструментами».
Доклад Линь Жаня быстро распространился по миру через газеты. В отличие от Аппеля и Хакена, чьё доказательство на компьютере вызвало скепсис и было опубликовано только через десять лет, метод Линь Жаня был единодушно признан эффективным. В этом разница между мастером и не-мастером, предлагающими решение одной и той же проблемы. Как с гипотезой ABC — Мотидзуки говорит, что доказал, и математики не отвергают его, а говорят, что есть сомнения; если бы какой-нибудь неизвестный математик сделал то же самое, его бы просто отклонили. Имя решает всё. Математика — это реальность.
22 августа 1962 года, в последний день XIV Международного конгресса математиков, церемония награждения прошла в Стокгольмском концертном зале. Это здание с синим фасадом и элегантным дизайном приняло сотни математиков, учёных и гостей со всего мира, чтобы стать свидетелями вручения высшей награды.
Ровно в 3 часа дня церемония началась с оркестрового вступления. Оркестр исполнил фрагмент Первой симфонии шведского композитора Хуго Альвена — мелодия была торжественной и мощной, придавая предстоящему награждению особую значимость.
Когда музыка стихла, председатель конгресса Леннарт Карлссон медленно поднялся на сцену. Он был в чёрном фраке, с улыбкой помахал рукой залу.
Низким и чётким голосом он произнёс:
— Дамы и господа, добро пожаловать на церемонию награждения Международного конгресса математиков 1962 года. Сегодня мы не только празднуем блестящие достижения математики, но и становимся свидетелями пика человеческой мудрости.
Его вступительная речь зажгла зал, раздались бурные аплодисменты. Все очень уважали Линь Жаня — это было уважение к мудрости.
После краткого обзора научных событий конгресса началась церемония награждения. Карлссон объявил, что Филдсовская премия этого года будет присуждена молодому учёному, который «своим необыкновенным талантом и новаторским духом изменил облик математики».
Когда он произнёс это, у всех в зале промелькнуло одно имя:
«Рэндольф Лин».
Когда имя Линь Жаня было объявлено, зал взорвался аплодисментами.
Молодой человек с худощавым лицом и спокойным взглядом поднялся. На нём был тёмно-серый костюм, галстук слегка ослаблен — это придавало ему непринуждённый вид.
— Профессор, поздравляю, — Дженни, сидевшая рядом, вовремя поцеловала его в щёку.
Линь Жань медленно направился к сцене, каждый его шаг сопровождался взглядами зрителей.
Поднявшись на сцену, он пожал руку Карлссону, который вручил ему золотую медаль. На медали было выгравировано «ICM 1962», а на обороте — профиль Евклида, символизирующий вечную преемственность математики. Затем ему вручили грамоту с золотым тиснением, на которой на латыни и английском было написано: «Присуждается Рэндольфу Лину в знак признания его выдающегося вклада в теорию чисел, включая доказательство великой теоремы Ферма».

Комментарии

Загрузка...