Эта гипотеза.
Это было похоже на то, как если бы человек подошел к краю пропасти без страховки и веревок, просто указал пальцем в пустоту...
— Здесь можно пройти, — сказал он.
На мгновение Лэнглендс ощутил ошеломленным.
За свою жизнь он повидал бесчисленное множество гипотез.
Некоторые из них были прекрасны; приходилось прищуриться, чтобы разглядеть скрытые в них тонкие структуры.
Другие были неуклюжими, слепленными из груды доказательств, и их суть была видна с первого взгляда.
Но такая...
Такую он видел впервые.
Те семьдесят шесть страниц были фундаментом, который заложил для неё Ли Дун.
А эти несколько строк текста на одном листе формата А4...
...позволили ему смутно разглядеть очертания небоскреба.
Здание было огромным, возвышающимся до небес.
Он мог лишь смотреть на него снизу вверх.
Ему не удавалось различить его силуэт.
«Почти везде равны...»
Лэнглендс, казалось, повторял эти слова про себя.
Почти везде равны.
В вещественном анализе это самая неприметная фраза.
Но здесь эти слова обретали невероятный вес.
Для парной корреляционной функции они несли в себе статистическую информацию о нулях.
А статистическая информация о нулях — это самый глубокий и недавно открытый аспект автоморфных L-функций.
«Могут ли две автоморфные L-функции с разными эйлеровыми произведениями действительно иметь наборы нулей, которые совпадают почти везде?»
Первой реакцией Лэнглендса было...
«Невозможно».
Но он не спешил откладывать бумагу.
Он снова посмотрел на лист А4 в своих руках.
Фрэнк сидел напротив.
Он молчал.
Он лишь тихо поставил пятую чашку кофе рядом с рукой старика.
Лэнглендс машинально потянулся к перьевой ручке на столе.
Ему хотелось проверить это.
«Такая вещь... гипотеза... наверняка можно провести хоть какие-то небольшие проверки?»
Лэнглендс не был уверен.
Но он обязан был проверить, рассыплется ли она от малейшего прикосновения или устоит.
Он вытащил чистый лист бумаги и отвинтил колпачок перьевой ручки.
Первым делом он записал случай, который был досконально известен каждому.
Циклическая замена базы.
Замена базы для GL(2) над циклическим расширением E/F — то, что его собственные ученики, Артур и Клозе, завершили ещё в 1989 году.
Пусть π — каспидальное автоморфное представление GL(2, A_F).
E/F — циклическое расширение, группа Галуа которого порождена характером χ.
L-функция замены базы π, а именно π_E, может быть представлена как произведение L-функций π, скрученных степенями χ.
L(s, π_E) = ∏ L(s, π⊗χ^k).
Ручка Лэнглендса замерла на символе «∏».
Он хотел проверить необходимость в условии «необходимо и достаточно».
— В этом уже доказанном частном случае вывод в статье Ли Дун должен быть самосогласованным...
Поскольку π_E служит переносом π, их функции парной корреляции должны быть почти всюду равны.
Старик медленно вычислял на бумаге.
Множество нулей L(s, π_E) это объединение множеств нулей L(s, π⊗χ^k).
Функция парной корреляции π_E, F_{π_E}(α), формально должна распадаться на две части.
Одна часть — это внутренняя парная взаимосвязь нулей внутри каждой L(s, π⊗χ^k).
Они имеют ту же форму, что и F_π(α), поскольку скручивание не меняет универсальность ГУЕ.
Другая часть состоит из членов кросс-корреляции между нулями различных L(s, π⊗χ^k).
Ручка Лэнглендса остановилась.
Этот перекрестный член.
— Согласно критерию Ли Дун, он должен рассеиваться на интервале [0, 4/n] в...
Он медленно продолжил вычисления.
На полпути к результату его брови слегка нахмурились.
Фрэнк наблюдал за его нахмуренным лбом.
Его собственное сердце подскочило к горлу.
Спустя ещё несколько минут плотно сдвинутые брови Лэнглендса медленно разгладились.
Та часть перекрестного члена, которая казалась неверной, была сильно подавлена ограничением Ли Дун на индекс ветвления, e_v ≤ n.
Подавлена настолько, что стала почти всюду равной нулю.
Лэнглендс тихо сказал: «М-м».
Направление необходимости подтвердилось в этом частном случае циклической замены базы.
Но этого было недостаточно.
Направление необходимости оказалось слишком простым.
Если функториальность верна, то L-функции равны, а значит, равны и нули, и функции парной корреляции, разумеется, тоже.
На самом деле он хотел проверить другую половину — обратное утверждение.
— Если два каспидальных автоморфных представления имеют почти всюду равные функции парной корреляции, обязательно ли они связаны функториальностью?
Лэнглендс взял новый лист бумаги.
Он собирался найти контрпример.
Контрпример, который одним махом опровергнет эту гипотезу.
Первое, что пришло на ум, — два галуа-сопряженных автоморфных представления.
На первый взгляд их L-функции очень похожи, но перенос между ними не соответствует никакому L-гомоморфизму в рамках функториальности Лэнглендса.
Лэнглендс улыбнулся.
— Я должен суметь разбить эту кажущуюся совершенной гипотезу одним ударом.
Он склонил голову, и его перо замелькало по бумаге, шаг за шагом разбирая и вычисляя функции парной корреляции для обоих представлений.
Меньше чем через десять минут перо в руке старика мягко опустилось на бумагу.
Результат оказался совсем неожиданным.
Согласно критерию нулей Ли Дуна, функции парной корреляции этой, казалось бы, идеальной пары сопряженных представлений вовсе не могли быть «почти всюду равными».
На чрезвычайно узком, но критически важном интервале оба набора значений полностью расходились, и эту разницу невозможно было пренебрегать.
Это даже не удовлетворяло основной предпосылке гипотезы; такой случай не годился на роль контрпримера.
Лэнглендс взял еще один чистый лист.
Он решил применить второе по сложности оружие для поиска лазеек: КАП-представления.
Эта штука была мастером маскировки.
Она выглядит почти неотличимо от подходящего каспидального автоморфного представления и легко проскальзывает в предварительные условия, но по сути служит «псевдокаспидальным» представлением, возникающим из остаточного представления на меньшей группе, и по своей природе не удовлетворяет требованиям функториальности Лэнглендса.
Труды бесчисленных коллег шли прахом, стоило им не уследить за этим самозванцем.
Но на этот раз Лэнглендс остановился, написав всего несколько строк.
Ему даже не нужно было заканчивать вычисления; он уже понял в уме.
Гипотеза Ли Дуна поставила железный заслон на самом первом шаге.
«Оба удовлетворяют критерию нулей для локально-глобальной совместимости автоморфных представлений».
Этот самозванец не прошел даже первую проверку безопасности. Его остановили у порога, не дав шанса коснуться сути гипотезы.
Фрэнк сидел напротив, молча наблюдая за происходящим.
По правде говоря, четыре дня назад он сам проделал ровно то же самое с тем листом формата А4.
Он выбрал несколько наиболее знакомых ему случаев, пытаясь опровергнуть гипотезу.
В итоге он потратил на это весь день.
Закончив, он сидел в своем кабинете и полчаса оцепенело смотрел в окно.
Только после этого он решил купить билет на самолет до Принстона.
Теперь Лэнглендс переключился на очередной лист бумаги.
На этот раз он попробовал еще более сложный сценарий...
...случай, когда при нетривиальном L-гомоморфизме два представления локально совпадают почти во всех точках, но расходятся в конечном числе «плохих» точек.
Подобные вещи доставляли больше всего хлопот при использовании традиционного метода формулы следов.
Но гипотеза Ли Дуна не опиралась на формулу следов.
В ней использовалась парная взаимосвязь нулей.
Парная взаимосвязь нулей — это глобальное свойство, оно не зависит от какой-то одной «плохой» точки.
Лэнглендс вглядывался в несколько строк, которые он только что вычислил.
Он долго оставался неподвижен.
Наконец, он отложил ручку.
— Поразительно, — негромко сказал старик.
— Поистине поразительно.
Он поднял взгляд на Фрэнка.
— Фрэнк.
— Со своей стороны я не вижу никаких проблем.
Фрэнк замер.
На самом деле, он ожидал чего-то подобного.
Но услышать эти слова из губ самого Лэнглендса — совсем другое дело.
Это означало...
...что, по крайней мере на его уровне, гипотеза не рассыпалась. Она устояла.
Отныне эту гипотезу можно было называть «Гипотезой Ли».
Фрэнк кивнул и поднялся.
Он бросил взгляд на остывшую чашку кофе на столе, а затем на старые настенные часы.
С самого утра старик почти не вставал с места.
Он потратил четыре часа только на то, чтобы прочитать статью.
А затем еще больше получаса на вычисления, основываясь на том самом листе формата А4.
Фрэнку отчаянно хотелось продолжить разговор.
Поговорить об этом листе, о всей статье целиком, о юноше по имени Ли Дун.
Но он не мог.
Здоровье Лэнглендса не позволяло работать так долго.
— Профессор, — понизил голос Фрэнка.
— Тогда я больше не буду вас беспокоить, вам нужно отдохнуть.
Лэнглендс кивнул.
— Я оставлю статью у себя.
— Напишу рецензию через несколько дней.
— Хорошо.
Фрэнк слегка поклонился, подхватил портфель и поспешно вышел.
Он знал, что должен немедленно вернуться в Чикаго.
Статья должна была официально пройти процесс рецензирования для «Математического ежегодника». Помимо Лэнглендса, нужно было как можно скорее разослать письма другим внешним рецензентам, способным разобраться в этой теме.
Один из них находился в Институт высших научных исследований, другой в МИТ, а третий — в Оксфорде.

Комментарии

Загрузка...