Научный корпус, лекционный зал.
Профессор Лю Жочуань опирался обеими руками на трибуну и с улыбкой наблюдал за студентами, у которых от умственных усилий процессоры в голове буквально дымились.
Честно говоря, он не ожидал, что кто-то из этих недавно зачисленных первокурсников сможет решить задачу, которую он им дал.
«Проверять ваш уровень с помощью вопроса из вступительного экзамена в аспирантуру — это ведь не слишком далеко заходит, правда?..»
Сердце профессора Лю зудело от предвкушения.
«Это ведь наконец колледж Юаньпэй. Что, если какой-то монстр действительно сможет ее решить? Как заместитель декана математического факультета, переманить парочку перспективных талантов не составит труда...»
Он наблюдал, как ни у одного человека внизу не было ни малейшей догадки, а брови у всех были глубоко нахмурены.
Профессор Лю улыбнулся и решил подлить масла в огонь.
«Преподавание — это сплошное веселье...»
— Эта задача, видите ли, на самом деле не выходит за рамки учебной программы.
— Покуда вы внимательно слушали и полностью усвоили концепции пересечения и суммы подпространств, которые я объяснял на этом занятии, вы определенно сможете ее решить.
— Поэтому я хочу поощрить ваше мужественное отношение к этому вызову.
— Тот, кто сможет подняться сюда и решить ее, получит от меня высший балл за посещаемость до конца курса!
Внизу гудели головы этих избранных вундеркиндов.
«Если бы мы полностью уснули... то есть усвоили, смогли бы решить? Профессор Лю издевается над нами?»
«Зачет за посещаемость? Он предлагает пирог, от которого даже откусить нельзя!»
Но как только профессор Лю закончил говорить, фигура в первом ряду поднялась.
Лю Цян и Чэнь Нань, сидевшие рядом с ним, были ошеломлены, их челюсти слегка приоткрылись.
Ван Хао, лучший студент-математик из общежития 404, тоже удивленно поднял голову.
Заговорил Ли Дун.
— Учитель Лю, я бы хотел попробовать.
Дело было не в том, что он хотел покрасоваться. Главная причина заключалась в том, что его страстью была физика, и если в будущем его занятия по физике и математике будут пересекаться, он, возможно, не сможет получить полный балл за посещаемость по математике.
Профессор Лю не совсем разглядел, что именно взметнулось прямо у него под носом, и на мгновение замер.
У него было смутное впечатление о Ли Дуне, и он знал, что его фамилия Ли.
Это было вовсе не потому, что Ли Дун был лучшим знатоком естественных наук из Сычуани и Чунцина.
Наконец, в Юаньпэе можно было бросить кирпич и попасть в трех отличников.
А всё потому, что на второй день семестра этот студент попросил у своего куратора отгул, заявив, что отправляется в Чжэцзянский университет для продвижения биологического проекта.
Смочь отправиться в другую провинцию, чтобы самостоятельно продвигать исследовательский проект на первом курсе... Способности этого студента внушали трепет...
Поэтому он тоже ощутил крупицу предвкушения.
— Ладно, поднимайся и попробуй.
Ли Дун подошел к трибуне и, не раздумывая ни секунды, принялся писать на доске.
Он знал, где кроется подвох в этой задаче.
Первой реакцией многих людей на эту задачу было бы по отдельности расширить базисы V_1 и V_2, но это привело бы к тому, что построенное W не смогло бы удовлетворить оба условия прямой суммы одновременно.
Настоящая отправная точка заключалась в том, чтобы сначала разобраться с их пространством пересечения.
Шаг первый: разобраться с пересечением и расширить базис.
Ли Дун записал основную идею: сначала взять базис для V_1 ∩ V_2, а затем использовать теорему о расширении базиса для подпространств, чтобы расширить его до базиса V_1 и базиса V_2 соответственно.
Профессор Лю стоял в стороне, одобрительно кивая про себя.
«Его фундаментальные знания крепки, а интуиция остра. Он избежал самого большого капкана с самого первого шага».
Шаг второй: доказать линейную независимость.
Это был самый крепкий орешек во всей задаче.
Ли Дун не стал увязать в утомительных вычислениях, а сразу перешел к сути дела. Он составил уравнение, в котором линейная комбинация векторов из набора b и набора c равнялась нулю. Благодаря ловкой перестановке членов левая часть уравнения целиком принадлежала V_1, тогда как правая часть целиком принадлежала V_2. Это означало, что обе части должны естественным образом принадлежать пересечению V_1 ∩ V_2.
Затем, подставив базис пересечения из первого шага и используя линейную независимость известных базисных векторов, он всего за несколько шагов вывел, что все коэффициенты комбинации должны быть равны нулю.
Он чисто доказал, что комбинация векторов из набора b и набора c по-прежнему была линейно независимой!
Шаг третий: построить дополнительное подпространство W.
Поскольку объединенные векторы из бета- и гамма-наборов по-прежнему оставались линейно независимыми, он мог использовать теорему о расширении базиса еще раз, чтобы расширить их вместе с базисом пространства пересечения до базиса всего пространства V!
На доске Ли Дун обвел кружком векторы бета- и гамма-наборов, добавил знак плюса между каждой парой β_i и γ_i, а затем обвел новенький набор эта-векторов, добавленных во время финального расширения базиса.
— Пусть W — это подпространство, порожденное этим набором объединенных векторов β_i + γ_i и вновь добавленными эта-векторами.
За этим последовало несколько строк лаконичных вычислений размерности.
Как для V_1, так и для V_2 их размерность плюс размерность W были ровно равны общей размерности n, а их пересечение с W было нулевое пространство.
Значит, V = V_1 ⊕ W = V_2 ⊕ W.
Подпространство W, удовлетворяющее условиям, существует. Что и требовалось доказать!
ДЗЫНЬ.
Звонок об окончании урока прозвенел практически в тот самый момент, когда Ли Дун написал последний символ.
Профессор Лю Жочуань стоял на месте, внимательно изучая доказательство на доске, а затем повернул голову и посмотрел на Ли Дуна.
— Очень хорошо.
Для новоиспеченного студента эти два слова были огромным признанием.
В этот момент вундеркинды высшего уровня в зале были просто ошеломлены.
Хотя доказательство на доске содержало некоторые продвинутые концепции, которые они еще не успели полностью изучить, они уже разглядели метод за этим безумием благодаря собственным чудовищным способностям к логическому дедуктивному мышлению.
Ван Хао сидел на своем месте, смотрел на доску и наконец вздохнул смирения...
Услышав звонок, Ли Дун небрежно отложил мел.
— Ли Дун, у тебя действительно доскональное понимание предмета.
С улыбкой спросил профессор Лю.
— Итак, по твоему мнению, в чем заключалась сложная часть этой задачи?
Намерение профессора Лю состояло в том, чтобы с помощью объяснения Ли Дуна указать на ловушки задачи и помочь прояснить ход мыслей для студентов, которые не совсем уловили суть.
Однако Ли Дун покачал головой (OK, устойч.) и с большим искренним выражением сказал: — В этой задаче... на самом деле не было никаких сложных частей.
Профессор Лю был застигнут врасплох.
— А? — студенты внизу синхронно закатили глаза.
«Черт, — подумали они, — он даже не пытается притворяться. Просто выкладывает карты на стол, да?»
Ли Дун искренне не находил задачу сложной, но в ответ профессору Лю он на секунду задумался и добавил кое-что еще.
— Та задача, что была только что, действительно не отличалась трудностью.
— Но если бы вопрос копнул немного глубже и поинтересовался, был ли подпространство W, удовлетворяющее вышеуказанным условиям, особым... вот это уже могло бы быть немного интересным.
Как только профессор Лю услышал это, будучи академическим тяжеловесом, он мгновенно понял, что имел в виду Ли Дун.
Он с большим интересом переспросил: — И что ты думаешь? Оно уникально?
Студенты внизу тоже начали следовать за ходом мыслей Ли Дуна.
Ван Хао быстро провел подсчет в уме и пробормотал себе под нос.
— Поскольку оно строится путем расширения базиса, оно должно быть особым, верно?..
У нескольких других студентов, способных поспевать за мышлением Ли Дуна, была точно такая же идея.
Ли Дун покачал головой (OK, устойч.). — Оно не уникально.
Сидевшие внизу студенты, которые думали, что оно уникально, мгновенно запутались.
Ли Дун небрежно снова взял мел и на свободном пространстве доски всего за несколько штрихов набросал контрпример: пусть V — двумерное вещественное линейное пространство, V_1 = L((1,0)), а V_2 = L((0,1)). Тогда и W_1 = L((1,1)), и W_2 = L((1,2)) удовлетворяют условию прямой суммы, что напрямую опровергает уникальность!
Глаза профессора Лю наполнились восхищением.
— Мм, совсем неплохо, — сказал он, а затем пробормотал про себя.
«На следующем уроке, когда я буду вести занятия в других группах, я добавлю эту вторую часть к задаче...»
Студенты из других групп:??? Какая бестактность!
— Ладно, урок окончен, — профессор Лю смахнул с рук меловую пыль.
— Когда у вас будет свободное время, внимательно изучите доказательство на доске и продумайте логику.
Затем он повернул голову к Ли Дуну: — Студент, как твое полное имя?
— Меня зовут Ли Дун.
Профессор Лю улыбнулся и кивнул.
— Ли Дун, значит? Когда придет время выбирать профильную специализацию на втором курсе, тебе стоит серьезно подумать о нашем факультете математических наук. Тогда ты смогло бы поработать со мной над исследовательским проектом.
— Спасибо, учитель Лю. Я подумаю об этом, — вежливо поблагодарил Ли Дун и поспешно спустился с трибуны.
Проходя мимо первого ряда, он окликнул трех своих соседей по комнате.
— Я возвращаюсь первым! Не беспокойтесь насчет еды для меня!
Ли Дун спешил вернуться, чтобы упорядочить свои эти и написать статью.
Хотя еда в столовой Нюньюань была довольно вкусной, протискиваться в столовую в этот час было бы слишком большой тратой времени.
Он планировал просто зайти в подвал тридцать пятого корпуса и перекусить на ходу.
Удобства в тридцать пятом корпусе Юаньпэя были великолепными. Там были не только легкие закуски и кофе, но также тренажерный зал, подвал и конференц-залы — он был полностью укомплектован.
Лишь после того, как Ли Дун исчез в дверях аудитории, Чэнь Нань и Лю Цян вернулись в реальность из оцепенения, вызванного контрпримером на доске.
Они оба одновременно повернули головы и со сложными выражениями лица посмотрели на Ван Хао.
— Хаоцзы...
— Я помню, в начале семестра Брат Дун говорил нам, что его любимый предмет — физика, верно?
Ван Хао уставился в потолок с выражением абсолютного отчаяния на лице.
— Да...

Комментарии

Загрузка...