Шэнь Янь вовсе не разозлилась на подначки Чэнь Линя. Напротив, её щеки слегка порозовели, однако она быстро взяла себя в руки.
Она достала из сумочки телефон, пару раз качнула пальцем по экрану и взглянула на Чэнь Линя: — Я скинула тебе файл.
Телефон Чэнь Линя завибрировал. Он открыл Вичат и увидел ПДФ-файл, который прислала Шэнь Янь.
Открыв документ, юноша понял, что это конспекты Шэнь Янь по её научной теме. Файл назывался «Вариационные модели в обработке изображений».
Страницы пестрели плотными формулами и выкладками, записанными аккуратным почерком, а ключевые моменты были выделены разными цветами.
«Она и впрямь отличница, — восхищенно подумал Чэнь Линь. — Только взгляните, какая скрупулезность. Сразу видно, сколько труда она вкладывает в учебу».
Впрочем, не имея перед глазами конкретной математической задачи, Чэнь Линь не почувствовал ничего особенного, просматривая материал.
Способность «Маленький математик» была мощной, но для её активации требовалась четкая задача.
Однако Чэнь Линь знал, как себя вести.
Он невозмутимо перелистнул пару страниц, затем посмотрел на Шэнь Янь глубоким, непостижимым взглядом и чуть приподнял бровь.
Смысл был ясен: «Ну и? О чем ты хочешь спросить?»
Его напускная важность едва не рассмешила Шэнь Янь, но она сдержалась.
Девушка открыла ноутбук, открыла тот же файл и ловко перелистнула на нужную страницу.
— Дело вот в чем, — пояснила она, листая документ. — Когда в прошлый раз ты помог мне с новым алгоритмом для математического моделирования, я показала его профессору Гу, и он остался очень доволен моей работой.
Чэнь Линь кивнул. «Еще бы ему не быть довольным».
— Затем профессор Гу дал мне новое направление для исследований — вариационные модели в обработке изображений — и сказал самостоятельно изучить базовые знания до начала следующего семестра, — продолжила Шэнь Янь. — Но некоторые моменты мне не до конца понятны, особенно материал по функциональному анализу.
Она повернула ноутбук экраном к Чэнь Линю и указала на строчки: — Я много раз перечитывала эти разделы, но никак не могу их уловить.
Чэнь Линь проследил за ее пальцем и увидел на экране несколько терминов.
«Теория пространств Соболева»
«Исчисление в банаховых пространствах»
«Вариационные принципы (минимизирующие последовательности, условие Палей — Смейла)»
Увидев эти термины, Чэнь Линь немного помрачнел.
«Знания полезные, спору нет, но беда в том, что без конкретной математической задачи способность „Маленький математик« бесполезна».»
— Этот материал, — с легким досаждением сказала Шэнь Янь, — мне предстоит проходить только в следующем семестре. Я уже какое-то время изучаю его сама, но многое так и не поняла до конца.
Чэнь Линь немного подумал, а затем неуверенно спросил: — А есть какие-нибудь задачи для практики? По-моему, разбирать теорию через решение примеров гораздо проще и понятнее.
Глаза Шэнь Янь засияли так, словно она нашла родственную душу. — Я думала точно так же!
Девочка тут же принялась искать что-то в компьютере: — Я нашла в сети несколько подходящих задач по этим трем темам. Сама я никак не могла с ними справиться, так что для тебя это будет идеальный материал для объяснения.
Чэнь Линь мысленно облегченно выдохнул.
«С задачами все станет проще. Теперь у „Маленького математика« наконец-то появится шанс проявить себя».»
Вскоре Шэнь Янь нашла файл с задачами и подвинула ноутбук к Чэнь Линю: — Смотри, эти задачи довольно сложные.
Чэнь Линь присмотрелся. Первая задача.
[Пусть область имеет вид Ω=(-1, 1)⊂, а функция задана как u(x)=|x|.]
[Задача:] Задача.
[(a) Проверять что u∈] (a) Убедитесь, что u∈ L2(Ω), и найдите ее слабую производную u’∈ L1_loc(Ω).
[(b) Для любой тест] (b) Для любой пробной функции φ∈ C_c^∞(Ω) проверьте выполнение равенства ∫_Ω uφ’ дх = -∫_Ω u’φ дх.
Вторая задача.
[Пусть {u_n}⊂ W^{1,p}(Ω) — основная последовательность (где 1]
При стремлении m, n к бесконечности предел: ||u_m — u_n||_{W^{1,p}} → 0.
[Доказывать: Там существует] Докажите: существует такая функция u∈ W^{1,p}(Ω), что последовательность сходится к u в норме W^{1,p}, то есть.
При стремлении n к бесконечности предел: ||u_n — u||_{W^{1,p}} → 0.
Чэнь Линь быгло просмотрел все условия и понял, что задач немало.
Он повернулся к Шэнь Янь и сказал: — Задач много, за этот полдень мы точно все не успеем. Как насчет того, чтобы взять по несколько типичных примеров из каждой темы, а я по ходу дела все объясню?
— Хорошо, — кивнула Шэнь Янь, явно готовая к такому исходу.
Чэнь Линь поднялся и пересел на свободное место рядом с Шэнь Янь.
Расстояние между ними мгновенно сократилось. Чэнь Линь даже уловил слабый, свежий аромат ее духов.
Он достал из рюкзака блокнот для черновиков и ручку.
«Маленький математик, пассивная активация!»
В тот же миг знакомое чувство охватило его.
Математические знания сами собой упорядочились в уме, выстраиваясь в готовые цепочки решений.
— Начнем с первой задачи, — Чэнь Линь взял ручку и написал номер на бумаге.
— Для пункта «а» первой задачи, чтобы доказать принадлежность функции пространству L2, главное — вычислить ее норму L2.
Говоря это, он принялся выводить формулы.
— Шаг 1: Вычисляем норму u в пространстве L2.
||u||_{L2(Ω)}2 = ∫_{-1}^{1} |x|2 дх.
Шэнь Янь неотрывно следила за выкладками, время от времени кивая.
— Обрати внимание сюда, — Чэнь Линь постучал кончиком ручки по бумаге. — Поскольку |x| — четная функция, мы можем упростить вычисления с помощью симметрии.
— ||u||_{L2(Ω)}2.
= ∫_{-1}^{1} |x|2 дх.
= 2 ∫_{0}^{1} x2 дх.
= 2 · [x3/3] в пределах от 0 до 1.
= 2 * (1/3) = 2/3.
— Значит, u ∈ L2(Ω).
Шэнь Янь задумчиво кивнула: — То есть, чтобы доказать принадлежность функции пространству L2, достаточно показать, что ее норма L2 конечна?
— Именно, — продолжил писать Чэнь Линь. — Дальше идет поиск слабой производной, и здесь все немного сложнее.
Он набросал на бумаге простенький график, показывающий вид функции |x|.
— Видишь ли, в точке x=0 функция |x| не дифференцируема, поэтому обычное понятие производной здесь не работает. Тут-то на сцену и выходит определение слабой производной.
Чэнь Линь перешел к подробному выведению, его рука быстро скользила по бумаге.
— Пусть v(x) = знак(x) = {-1, если x0}.
— Для любой φ ∈ C_c^∞(Ω) мы должны проверить.
— Интегральное математическое тождество: -∫_{-1}^{1} |x|φ’(x) dx = -∫_{-1}^{1} v(x)φ(x) dx.
Он разделил интеграл на две части для удобства вычислений, расписывая каждый шаг с безупречной четкостью.
Шэнь Янь смотрела на все это во все глаза, изредка задавая вопросы: — Почему здесь можно использовать интегрирование по частям?
— Поскольку φ — гладкая финитная функция, — терпеливо объяснил Чэнь Линь. — Ее значение на границе равно нулю, так что при интегрировании по частям внеинтегральные члены обращаются в ноль.
Время пролетело незаметно.
Солнечные лучи пробивались сквозь окно, отбрасывая узорчатые тени на исписанный черновик.
Кончик ручки Чэнь Линя шуршал по бумаге, то и дело останавливаясь, чтобы он мог подробно растолковать Шэнь Янь очередной ключевой момент.
— Видишь, в итоге у нас получается.
— Левая часть: ЛХС = ∫_{-1}^{0} φ дх — ∫_{0}^{1} φ дх.
— Правая часть дает тот же результат, так что v действительно является слабой производной u.
— А поскольку |v(x)|=1 ограничена на Ω, очевидно, что u’ ∈ L1_loc(Ω).
До Шэнь Янь наконец дошло: — Выходит, суть слабой производной в том, что она задается через интеграл, что позволяет обойти проблему недифференцируемости функции в некоторых точках?
— Отличное понимание сути, — с серьезным видом кивнул Чэнь Линь, одобряя ее слова. — Переходим к пункту «б».
— Здесь все просто, раз уж мы доказали ключевое равенство в пункте «а».
Он быстро набросал.
— Как доказано в «а».
∫_Ω uφ’ дх = ∫_{-1}^{0} φ дх — ∫_{0}^{1} φ дх.
-∫_Ω u’φ дх = -∫_Ω vφ дх = Тот же результат.
Значит, равенство выполняется.
Разобравшись с первой задачей, Чэнь Линь посмотрел на Шэнь Янь: — Ну что, понятна тебе базовая концепция слабой производной из этой задачи?
Шэнь Янь усердно закивала: — Гораздо понятнее, чем если бы я сама читала учебник.
— Тогда продолжаем со второй задачей, — Чэнь Линь перевернул страницу. — Здесь речь идет о полноте пространств Соболева.
Он начал выстраивать на бумаге доказательство.
— Чтобы доказать полноту пространства W^{1,p}, за основу нужно взять полноту пространства L^p...
И вот они сидели в тихой читальне: один усердно объяснял, другая внимательно вникала.
Солнце за окном постепенно клонилось к закату, заливая их мягким золотистым светом.
Время от времени лицо Шэнь Янь озарялось радостью, когда ей удавалось наконец постигнуть очередной сложный момент.
Разобравшись с текущей задачей, Чэнь Линь спокойно переходил к следующей.
В такой атмосфере взаимной учебы время летело незаметно.
Не успели они оглянуться, как несколько листков бумаги оказались заполнены плотными рядами формул и вычислений.
— Последняя задача на вариационные принципы, — потягивая слегка затекшее запястье, сказал Чэнь Линь, — связана с условием Палей — Смейла, а это понятие довольно абстрактное.
Шэнь Янь тоже потерла глаза. От столь долговременного вглядывания в математические выкладки действительно можно было устать.
Однако ее глаза по-прежнему сияли: было ясно, что она почерпнула немало нового.
Девушка взглянула на время в телефоне. Прошло почти три часа.
Тут она услышала голос Чэнь Линя: — На сегодня давай закончим. Боюсь, если брать больше, ты просто не успеешь все переварить. Осталась пара задач — попробуй решить их дома сама, опираясь на то, что мы сегодня прошли. Если что-то будет непонятно, спросишь на нашем следующем занятии.
Шэнь Янь кивнула: — Хорошо. Спасибо большое, что потратил столько времени на занятия со мной.
Чэнь Линь улыбнулся: — Как я уже говорил, ты моя лучшая клиентка. Я обязан предоставлять сервис высшего качества, верно?
Шэнь Янь на секунду замерла, немного смутившись: — Ой, я чуть не забыла. Сейчас переведу тебе оплату за это занятие.
С этими словами она достала телефон, чтобы сделать перевод через Вичат.
Увидев уведомление о переводе, Чэнь Линь повеселел еще сильнее.
Провести три часа наедине с университетской красавицей и заодно легко срубить полторы тысячи юаней. Единственное, что он потратил, — это мозговые ресурсы, которые с легкостью восполнятся хорошим ночным сном.
«Разве может быть что-то лучше?»
Поэтому он сказал Шэнь Янь: — Насчет следующего урока просто свяжись со мной за день до встречи, чтобы согласовать время. Я обязательно освобожу для тебя график.
С этими словами он махнул рукой, подхватил рюкзак и вышел из читального зала.
Шэнь Янь проводила его взглядом. Это был уже третий раз, когда она воочию убеждалась в невероятном математическом гении Чэнь Линя.
Вспомнив невозмутимое, спокойное лицо Чэнь Линя во время объяснения задач, а затем бросив взгляд на исписанные черновики, которые он оставил после себя, она почувствовала, как сердце помимо ее воли забилось чаще. А щеки вновь покрылись легким, незаметным румянцем.

Комментарии

Загрузка...